非心t分布のソースを表示

{{DISPLAYTITLE:非心''t''分布}}
{{確率分布
|名前 = 非心t分布
|型 = 密度
|画像/確率関数 = [[画像:nc student t pdf.svg|325px]]
|画像/分布関数 =
|母数 = 自由度 <math>\nu >0</math><br />非心母数 <math>\mu \in \Re</math>
|台 = <math>(-\infty ,\infty )</math>
|確率関数 =
|分布関数 =
|期待値 =
|中央値 =
|最頻値 =
|分散 =
|歪度 =
|尖度 =
|エントロピー =
|モーメント母関数 =
|特性関数 =
}}
'''非心''t''分布'''（ひしんティーぶんぷ、{{lang-en-short|noncentric t-distribution}}）とは、[[確率分布]]と[[統計学]]におけるスチューデントの[[t分布]]を一般化したものである。

非心な統計[[母数]]、例えば「{{mvar|X}} の上位10パーセント値」のようなものの[[信頼区間]]を標本データだけに基いて計算するのに有用である。

==非心t分布の特徴==
''Z'' は[[分散 (確率論)|分散]] {{math|1}}、[[平均]] 0 の[[正規分布]] に従う[[確率変数]] 、''V'' は自由度 νの[[カイ二乗分布]]に従いかつ、''Z'' と独立な確率変数、μは実定数としたときに、

:<math>T=\frac{Z+\mu}{\sqrt{V/\nu}} </math>

が従う分布のことを「自由度ν、非心パラメーターμの非心t分布」と呼ぶ。μ=0の場合は[[t分布]]そのものである。この非心t分布においては（{{Ill|非心F分布|en|Noncentral F-distribution}}等の他の多くの非心分布とは異なり）非心パラメータμは負の値であってもよい。

===累積分布関数===
この非心t分布の[[累積分布関数]]は、以下の式で与えられる。<ref name=lenth>
{{cite journal | last=Lenth | first= Russell V | title=Algorithm AS 243: Cumulative Distribution Function of the Non-central ''t'' Distribution | journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series C | year=1989| volume=38 | issue= 1 | pages=185–189 | jstor=2347693}}</ref>

:<math>F_{\nu,\mu}(x)=\begin{cases}
\tilde{F}_{\nu,\mu}(x), & \mbox{if } x\ge 0; \\
1-\tilde{F}_{\nu, -\mu}(x), &\mbox{if } x < 0, 
\end{cases}</math>

ここで、
:<math>\tilde{F}_{\nu,\mu}(x)=\Phi(-\mu)+\frac{1}{2}\sum_{j=0}^\infty\left[p_jI_y\left(j+\frac{1}{2},\frac{\nu}{2}\right)+q_jI_y\left(j+1,\frac{\nu}{2}\right)\right],</math>
:<math>I_y\,\!(a,b)</math> は、正則化された[[不完全ベータ関数]],
:<math>y=\frac{x^2}{x^2+\nu},</math>
:<math>p_j=\frac{1}{j!}\exp\left\{-\frac{\mu^2}{2}\right\}\left(\frac{\mu^2}{2}\right)^j,</math>
:<math>q_j=\frac{\mu}{\sqrt{2}\Gamma(j+3/2)}\exp\left\{-\frac{\mu^2}{2}\right\}\left(\frac{\mu^2}{2}\right)^j,</math>
であり、Φ は標準正規分布の[[累積分布関数]]である。

他の表現として、以下の書き方もできる。
:<math>F_{v,\mu}(x)=\begin{cases}
\frac{1}{2}\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j!}(-\mu\sqrt{2})^je^{\frac{-\mu^2}{2}}\frac{\Gamma(\frac{j+1}{2})}{\sqrt{\pi}}I\left (\frac{v}{v+x^2};\frac{v}{2},\frac{j+1}{2}\right ), & x\ge 0 \\
1-\frac{1}{2}\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j!}(-\mu\sqrt{2})^je^{\frac{-\mu^2}{2}}\frac{\Gamma(\frac{j+1}{2})}{\sqrt{\pi}}I\left (\frac{v}{v+x^2};\frac{v}{2},\frac{j+1}{2}\right ), & x < 0
\end{cases}</math>
ここで、Γ は [[ガンマ関数]] 、''I'' は、正則化された[[不完全ベータ関数]]である。

===確率密度関数===
この非心t分布の[[確率密度関数]]は<ref>L. Scharf, Statistical Signal Processing, (Massachusetts: Addison-Wesley, 1991), p.177.</ref>
:<math>f(t)=\frac{\nu^{\nu/2} e^{-\nu \mu^2 /2(t^2 +\nu )}}{\sqrt{\pi} \Gamma (\nu /2)2^{(\nu -1)/2}(t^2 +\nu )^{(\nu +1)/2}}</math>
:::<math>\times \int_0^\infty x^\nu \exp \left[ -\frac{1}{2} \left( x-\frac{\mu t}{\sqrt{t^2 +\nu}} \right)^2 \right] \, dx</math>
ここで {{math2|''ν'' > 0}} である。この確率密度関数の定義域は[[実数]]である。

非心t分布の平均および分散は<ref>http://www.mathworks.com/access/helpdesk_r13/help/toolbox/stats/nctstat.html</ref>
:<math>\operatorname{E} \left[ T\right] =\begin{cases}
\mu \sqrt{\frac{\nu}{2}} \frac{\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)} &\nu >1 \\
\mbox{Does not exist} &\nu \le 1
\end{cases}</math>
:<math>\operatorname{Var} \left[ T\right] =\begin{cases}
\frac{\nu(1+\mu^2)}{\nu -2} -\frac{\mu^2 \nu}{2} \left( \frac{\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)} \right)^2 &\nu >2 \\
\mbox{Does not exist} &\nu \le 2
\end{cases}.</math>

== 特別の場合 ==
もしも {{math2|''μ'' {{=}} 0}} の場合、非心t分布は[[t分布]]になる。

== 関連する分布 ==
*もしも {{mvar|T}} が非心t分布にしたがう場合、{{math2|''Z'' {{=}} ''T''{{sup|2}}}} とおくと {{mvar|Z}} は{{Ill|非心F分布|en|Noncentral F-distribution}}にしたがう。
*{{mvar|T}} が非心t分布にしたがう場合、<math>Z=\lim_{\nu\to\infty} T</math> とおくと、{{mvar|Z}} は[[正規分布]]にしたがう。

== 関連事項 ==
* [[カイ二乗分布]]
* {{Ill|非心F分布|en|Noncentral F-distribution}}
* [[正規分布]]
* [[t分布]]

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* [http://mathworld.wolfram.com/NoncentralStudentst-Distribution.html Eric W. Weisstein. "Noncentral Student's t-Distribution."] From MathWorld--A Wolfram Web Resource

== 翻訳元 ==
本記事は英語版ウィキペディア記事
*Noncentral chi-square_distribution. [[:en:Noncentral_t-distribution|[:en]]] ''Wikipedia: Free Encyclopedia'' (English language), 14:14, 21 July 2007
からの抄訳に基づいて作成された。

{{確率分布の一覧}}
{{Statistics-stub}}

{{DEFAULTSORT:ひしんていいふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]