頂点 (曲線)のソースを表示

[[file:Ellipse evolute.svg|right|thumb|200px|[[楕円]]（赤）とその[[縮閉線]]（青）： 楕円の頂点（黒点）はすべて縮閉線の[[尖点]]にもなっている。楕円の縮閉線は[[星芒形]]である。]]
[[平面幾何学]]において、[[曲線]]の'''頂点'''（ちょうてん、{{lang-en-short|vertex}}）とは、[[曲率]]関数の[[臨界点_(数学)|臨界点]]が定める曲線上の点である。

[[単純閉曲線]]のうち[[オーバル]]などは少なくとも四つの頂点をもつ（{{仮リンク|四頂点定理|en|Four-vertex theorem}}）。

== 定義 ==
より詳しく書けば、[[滑らかな関数|滑らか]]な[[平面曲線]]の[[平面曲線#正則性と特異点|正則]]な[[媒介変数表示]] {{math|(''x'', ''y'') {{=}} (''x''(''t''), ''y''(''t'')) }} が与えられ、曲率を
:<math> \kappa(t) = \frac{\dot x \ddot y - \dot y \ddot x}{(\dot x^2 + \dot y^2)^{3/2}} </math>
としたとき
:<math> \dot \kappa(a) = 0 </math>
ならば、平面曲線上の点 {{math|(''x''(''a''), ''y''(''a''))}} を'''頂点'''という。

== 例 ==
[[File:Simple Parabola.svg|thumb|200px|[[放物線]]の頂点は一つである。]]
たとえば、[[放物線]] {{math|(''x'', ''y'') {{=}} (''t'', ''t''{{sup|2}})}} の曲率は
:<math> \kappa(t) = \frac{2}{(1 + 4t^2)^{3/2}} </math>
であるから
:<math> \dot \kappa(t) = -\frac{24t}{(1 + 4 t^2)^{5/2}} </math>
より臨界点は {{math|''t'' {{=}} 0}} のみであり、放物線の頂点は点 {{math|(0, 0)}} のみである。

== 参考文献 ==
* {{cite book|和書|author=窪田忠彦|authorlink=窪田忠彦|title=微分幾何学|year=1957|publisher=[[岩波書店]]|series=岩波全書|id={{NDLDC|1376219|format=NDLJP}}}}

{{DEFAULTSORT:ちようてん}}
[[Category:微分幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]