頂点 (曲線)

楕円（赤）とその縮閉線（青）： 楕円の頂点（黒点）はすべて縮閉線の尖点にもなっている。楕円の縮閉線は星芒形である。

平面幾何学において、曲線の頂点（ちょうてん、テンプレート:Lang-en-short）とは、曲率関数の臨界点が定める曲線上の点である。

単純閉曲線のうちオーバルなどは少なくとも四つの頂点をもつ（テンプレート:仮リンク）。

定義

より詳しく書けば、滑らかな平面曲線の正則な媒介変数表示 テンプレート:Math が与えられ、曲率を

$\kappa (t)=\frac{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}{({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2{)}^{3/2}}$

としたとき

$\dot{\kappa }(a)=0$

ならば、平面曲線上の点 テンプレート:Math を頂点という。

例

放物線の頂点は一つである。

たとえば、放物線 テンプレート:Math の曲率は

$\kappa (t)=\frac{2}{(1+4t^2{)}^{3/2}}$

であるから

$\dot{\kappa }(t)=-\frac{24t}{(1+4t^2{)}^{5/2}}$

より臨界点は テンプレート:Math のみであり、放物線の頂点は点 テンプレート:Math のみである。

参考文献

• テンプレート:Cite book