順序指数体のソースを表示

[[数学]]における'''順序指数体'''（じゅんじょしすうたい、{{lang-en-short|''ordered exponential field''}}）は、[[順序体]]であって（実数全体の成す順序体上の[[指数函数]]の概念を一般化する）適当な条件を満たす函数を備えたものを言う。

== 定義 ==
順序体 {{mvar|K}} 上で定義された'''指数函数''' (exponential) {{mvar|E}} とは、加法群 {{mvar|K}} から乗法群 {{math|''K''{{sup|×}}}} の上への[[単調写像|狭義単調増大]]な[[群準同型]]を言い、順序体 {{mvar|K}} とその上の指数函数 {{mvar|E}} との対 {{math|(''K'', ''E'')}} を'''順序指数体'''と呼ぶ。

== 例 ==
* 順序指数体の標準的な例は、実数全体の成す順序体 {{mathbf|ℝ}} に {{mvar|a{{exp|x}}}} ({{math|''a'' > 1}}) の形に書ける任意の[[底を持つ指数函数|指数函数]]を併せたものである。そのような函数のひとつに、自然[[指数函数]] {{math|1=''E''(''x'') {{coloneqq}} ''[[ネイピア数|e]]{{exp|x}}''}} がある。順序体 {{mathbf|ℝ}} と自然指数函数との対として与えられる順序指数体を {{math|'''ℝ'''{{sub|exp}}}} で表す。1990年代には {{math|'''ℝ'''{{sub|exp}}}} が{{ill2|モデル完備理論|en|Model complete theory|label=モデル完備}}であることが示され、{{ill2|ウィルキーの定理|en|Wilkie's theorem}}と呼ばれる。この結果と{{ill2|パフ函数|en|pfaffian function}}に関する Khovanskiĭ の定理を併せれば {{math|'''ℝ'''{{sub|exp}}}} が {{ill2|順序極小理論|en|o-minimal theory|label=o-極小}}でもあることが示される<ref>A.J. Wilkie, ''Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function'', J. Amer. Math. Soc., '''9''' (1996), pp.&nbsp;1051–1094.</ref>。[[アルフレッド・タルスキ―]]が {{math|'''ℝ'''{{sub|exp}}}} の決定可能性の問題を提起したので、いまではそれを{{ill2|タルスキーの指数函数問題|en|Tarski's exponential function problem}}と呼ぶ。実数版のシャニュエル予想が真ならば {{math|'''ℝ'''{{sub|exp}}}} が決定可能であるということは知られている<ref>A.J. Macintyre, A.J. Wilkie, ''On the decidability of the real exponential field'', Kreisel 70th Birthday Volume, (2005).</ref>。
* [[超現実数]]全体の成す順序体 {{mathbf|𝐍𝐨}} には {{mathbf|ℝ}} 上の自然指数函数 {{math|exp}} の延長となる指数函数が定義できる。{{mathbf|𝐍𝐨}} は[[アルキメデス性]]を持たないから、これは非アルキメデス順序指数体の例を与えるものである。
* {{ill2|超級数|en|Transseries|label=対数指数超級数}}全体の成す順序体 {{math|𝕋{{sup|LE}}}} は、標準的な指数函数を持つような仕方で具体的に構成される。

== 形式指数体 ==
'''形式指数体'''あるいは'''指数閉体'''とは、（本項で言う意味での）指数函数 {{mvar|E}} を定義可能な順序体を言う。任意の形式指数体 {{mvar|K}} に対し、{{mvar|K}} 上の指数函数 {{mvar|E}} を適当な自然数 {{mvar|n}} に対して {{math|1 + 1/''n'' < ''E''(1)}} を満たすように選ぶことができる<ref>Salma Kuhlmann, ''Ordered Exponential Fields'', Fields Institute Monographs, 12, (2000), p.&nbsp;24.</ref>。

== 性質 ==
* 任意の順序指数体 {{mvar|K}} は'''冪根閉''' (''root-closed'') である。すなわち {{mvar|K}} の任意の正元が任意の正整数 {{mvar|n}} に対する {{mvar|n}}-乗根を持つ（別な言い方をすれば、{{mvar|K}} の正元全体の成す乗法群が[[可除群]]を成す）。このことは、任意の {{math|''a'' > 0}} に対して <math display="inline">E\left(\frac{1}{n}E^{-1}(a)\right)^n=E(E^{-1}(a))=a</math> となることを見ればわかる。
** これにより、任意の順序指数体は{{ill2|ユークリッド体|en|Euclidean field}}になることがわかる。 
** これにより、任意の順序指数体は順序{{ill2|ピタゴラス体|en|Pythagorean field}}であることがしたがう。
* 任意の[[実閉体]]が必ずしも形式指数体となるわけではない。例えば、実[[代数的数]]全体の成す体には指数函数を入れることができない。なぜならば、実数体の任意の形式指数部分体 {{mvar|K}} において、指数函数 {{mvar|E}} は適当な元 {{math|''a'' ∈ ''K''}} ({{math|''a'' > 1}}) に対して {{math|1=''E''(''x'') = ''a{{exp|x}}''}} の形をしていなければならない、にも拘らず <math display="inline">E(\sqrt{2})=a^\sqrt{2}</math> が {{math|''a'' > 1}} のとき代数的でないことが[[ゲルフォント&ndash;シュナイダーの定理]]から従う。
** その帰結として、形式指数体全体の成すクラスは{{ill2|初等類|en|elementary class}}でないことが言える（実数体と実代数的数体は{{ill2|初等同値|en|elementarily equivalent}}な構造であった）。 
* 形式指数体全体の成すクラスは{{ill2|擬初等類|en|pseudoelementary class}}である。これは体 {{mvar|K}} が指数閉であるための必要十分条件が、全射 {{math|''E''{{sub|2}}: ''K'' → ''K''{{sup|+}}}} が存在して {{math|1=''E''{{sub|2}}(''x'' + ''y'') = ''E''{{sub|2}}(''x'')''E''{{sub|2}}(''y'')}} かつ {{math|1=''E''{{sub|2}}(1) = 2}} となることであり、{{mvar|E{{sub|2}}}} に関するこれらの性質は公理化可能であることによる。

== 関連項目 ==
* [[指数体]]

== 注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite journal | first=Norman L. | last=Alling | title=On Exponentially Closed Fields | journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] | volume=13 | number=5 | year=1962 | pages=706–711 | zbl=0136.32201 | doi=10.2307/2034159| jstor=2034159 }}
* {{Citation|last=Kuhlmann|first=Salma|title=Ordered Exponential Fields|series=Fields Institute Monographs|volume=12|publisher=American Mathematical Society|year=2000|isbn=0-8218-0943-1|mr=1760173|doi=10.1090/fim/012}}

{{DEFAULTSORT:しゆんしよしすうたい}}
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[[Category:体論]]
[[Category:代数的構造]]
[[Category:数学に関する記事]]