順序指数体

数学における順序指数体（じゅんじょしすうたい、テンプレート:Lang-en-short）は、順序体であって（実数全体の成す順序体上の指数函数の概念を一般化する）適当な条件を満たす函数を備えたものを言う。

定義

順序体 テンプレート:Mvar 上で定義された指数函数 (exponential) テンプレート:Mvar とは、加法群 テンプレート:Mvar から乗法群 テンプレート:Math の上への狭義単調増大な群準同型を言い、順序体 テンプレート:Mvar とその上の指数函数 テンプレート:Mvar との対 テンプレート:Math を順序指数体と呼ぶ。

例

• 順序指数体の標準的な例は、実数全体の成す順序体 テンプレート:Mathbf に テンプレート:Mvar (テンプレート:Math) の形に書ける任意の指数函数を併せたものである。そのような函数のひとつに、自然指数函数 テンプレート:Math がある。順序体 テンプレート:Mathbf と自然指数函数との対として与えられる順序指数体を テンプレート:Math で表す。1990年代には テンプレート:Math がテンプレート:Ill2であることが示され、テンプレート:Ill2と呼ばれる。この結果とテンプレート:Ill2に関する Khovanskiĭ の定理を併せれば テンプレート:Math が テンプレート:Ill2でもあることが示される。アルフレッド・タルスキ―が テンプレート:Math の決定可能性の問題を提起したので、いまではそれをテンプレート:Ill2と呼ぶ。実数版のシャニュエル予想が真ならば テンプレート:Math が決定可能であるということは知られている。
• 超現実数全体の成す順序体 テンプレート:Mathbf には テンプレート:Mathbf 上の自然指数函数 テンプレート:Math の延長となる指数函数が定義できる。テンプレート:Mathbf はアルキメデス性を持たないから、これは非アルキメデス順序指数体の例を与えるものである。
• テンプレート:Ill2全体の成す順序体 テンプレート:Math は、標準的な指数函数を持つような仕方で具体的に構成される。

形式指数体

形式指数体あるいは指数閉体とは、（本項で言う意味での）指数函数 テンプレート:Mvar を定義可能な順序体を言う。任意の形式指数体 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar 上の指数函数 テンプレート:Mvar を適当な自然数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math を満たすように選ぶことができる。

性質

• 任意の順序指数体 テンプレート:Mvar は冪根閉 (root-closed) である。すなわち テンプレート:Mvar の任意の正元が任意の正整数 テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Mvar-乗根を持つ（別な言い方をすれば、テンプレート:Mvar の正元全体の成す乗法群が可除群を成す）。このことは、任意の テンプレート:Math に対して $E{(\frac{1}{n}{E}^{-1}(a))}^n=E(E^{-1}(a))=a$ となることを見ればわかる。
  • これにより、任意の順序指数体はテンプレート:Ill2になることがわかる。
  • これにより、任意の順序指数体は順序テンプレート:Ill2であることがしたがう。
• 任意の実閉体が必ずしも形式指数体となるわけではない。例えば、実代数的数全体の成す体には指数函数を入れることができない。なぜならば、実数体の任意の形式指数部分体 テンプレート:Mvar において、指数函数 テンプレート:Mvar は適当な元 テンプレート:Math (テンプレート:Math) に対して テンプレート:Math の形をしていなければならない、にも拘らず $E(\sqrt{2})=a^{\sqrt{2}}$ が テンプレート:Math のとき代数的でないことがゲルフォント–シュナイダーの定理から従う。
  • その帰結として、形式指数体全体の成すクラスはテンプレート:Ill2でないことが言える（実数体と実代数的数体はテンプレート:Ill2な構造であった）。
• 形式指数体全体の成すクラスはテンプレート:Ill2である。これは体 テンプレート:Mvar が指数閉であるための必要十分条件が、全射 テンプレート:Math が存在して テンプレート:Math かつ テンプレート:Math となることであり、テンプレート:Mvar に関するこれらの性質は公理化可能であることによる。

関連項目

• 指数体

参考文献

• テンプレート:Cite journal
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