順序環のソースを表示

[[Image:Real number line.svg|thumb|right|350px|[[実数]]全体 <math>\mathbb{R}</math> は順序環であり[[順序体]]でもある。 [[整数]]全体 <math>\mathbb{Z}</math> は順序環だが順序体ではない。]]

[[抽象代数学]]において、'''順序環'''（じゅんじょかん、{{Lang-en-short|''Ordered ring''}}）は、[[演算 (数学)|演算]]と両立するような[[全順序]]が定義された（通常は[[可換環|可換]]な）[[環 (数学)|環]]を言う。即ち、{{mvar|R}} が順序環であるとき、任意の[[元 (数学)|元]] {{math|''a'', ''b'', ''c'' ∈ ''R''}} に対し、以下の二つが成り立つ<ref>{{citation | last=Lam | first=T. Y. | authorlink=Tsit Yuen Lam | title=Orderings, valuations and quadratic forms | series=CBMS Regional Conference Series in Mathematics | volume=52 | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=1983 | isbn=0-8218-0702-1 | zbl=0516.12001 }} </ref>。

* {{math|''a'' ≤ ''b''}} ならば {{math|''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c''}}.
* {{math|0 ≤ ''a''}} かつ {{math|0 ≤ ''b''}} ならば {{math|0 ≤ ''ab''}}.

== 例 ==
順序環は[[算術]]においてなじみ深い代数系である。[[整数]]全体の成す集合 <math>\mathbb{Z}</math>、[[有理数]]全体の成す集合 <math>\mathbb{Q}</math>、[[実数]]全体の成す集合 <math>\mathbb{R}</math> はすべて通常の大小関係を[[順序集合|順序]]として順序環となる (後ろの二つは[[順序体]]でもある)<ref>{{citation|author=Lam, T. Y.|authorlink=Tsit Yuen Lam |title=A first course in noncommutative rings |series=Graduate Texts in Mathematics|volume=131 |edition=2nd |publisher=Springer-Verlag |place=New York |year=2001 |pages=xx+385 |isbn=0-387-95183-0   |mr=1838439 | zbl=0980.16001 }}
</ref>。それに対し[[複素数]]全体の成す集合 <math>\mathbb{C}</math> はいかなる順序のもとでも順序環にはならない（[[虚数単位]] ''i'' を0以上としても0以下としても[[矛盾]]が生じるため）。  

== 正元 ==
実数の集合における概念のアナロジーとして、{{math|0 < ''c''}} である元 {{mvar|c}} は'''[[正の数|正]]'''、{{math|''c'' < 0}} である元 {{mvar|c}} を'''[[負の数|負]]'''の元と呼ぶ。{{math|0}} は正でも負でもないとする。

順序環 {{mvar|R}} の正元全体の成す集合をしばしば {{math|''R''<sub>+</sub>}} と表記する。

== 絶対値 ==
順序環 {{mvar|R}} の任意の元 {{mvar|a}} に対し、以下のように[[絶対値]] {{math|{{abs|''a''}}}} を定めることができる。

:<math>|a| := \begin{cases} a, & \mbox{if }  0 \leq a,  \\ -a,  & \mbox{otherwise.} \end{cases} </math>

ここで {{math|&minus;''a''}} は {{mvar|a}} の[[反数|加法逆元]]である。

== 離散順序環 ==
{{math|0}} と {{math|1}} との間に元を持たないような順序環を、'''離散順序環''' (discrete ordered ring) と呼ぶ。整数全体の成す集合 {{math|'''Z'''}} などがその例であり、有理数全体の集合 {{math|'''Q'''}} や実数全体の集合 {{math|'''R'''}} はそうではない。

== 性質 ==
{{mvar|R}}の任意の元 {{math|''a'', ''b'', ''c''}} に対し、
* {{math|''a'' ≤  ''b''}} かつ {{math|0 ≤  ''c''}} ならば {{math|''ac'' ≤  ''bc''}}<ref>OrdRing_ZF_1_L9</ref>。この性質を順序環の定義に用いることもある。
* {{math|1= {{abs|''ab''}} = {{abs|''a''}}&thinsp;{{abs|''b''}}}}<ref>OrdRing_ZF_2_L5</ref>。
* [[零環|自明]]でない順序環は無限環である<ref>ord_ring_infinite</ref>。
* 次の{{仮リンク|三分律|en|Trichotomy (mathematics)|label=3つのうち、いずれか一つのみが成り立つ}}: {{mvar|a}} は正、{{math|&minus;''a''}} は正、あるいは {{math|''a'' {{=}} 0}}<ref>OrdRing_ZF_3_L2, see also OrdGroup_decomp</ref>。この性質は順序環が加法に関して[[アーベル群]]かつ[[全順序群]]であることから導かれる。これより、<math>\mathbb{C}</math> が順序環にはならないことが従う。
* 順序環 {{mvar|R}} の正元の集合が乗法で閉じているならば、そのときに限り {{mvar|R}} は[[零因子]]を持たない<ref>OrdRing_ZF_3_L3</ref>。
* 任意の {{math|0}} でない元の2乗は正になる<ref>OrdRing_ZF_1_L12</ref>。実際、{{math|''a'' ≠ 0}} で {{math|1= ''a'' = ''b''<sup>2</sup>}} であるとすると、{{math|''b'' ≠ 0}} かつ {{math|1= ''a''  = (-''b'' )<sup>2</sup>}} となる。上述の性質より {{math|''b''}} か {{math|&minus;''b''}} のどちらかは正だから、定義の2番目の性質より {{mvar|a}} も正である。

== 関連項目 ==
* [[順序群]]
* [[順序体]]

==出典==
以下の出典には[http://www.nongnu.org/isarmathlib/IsarMathLib/document.pdf IsarMathLib]プロジェクトの[[証明 (数学)|証明]]を含む。
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:しゆんしよかん}}
[[Category:代数学]]
[[Category:順序構造]]
[[Category:数学に関する記事]]