順序環

実数全体 $ℝ$ は順序環であり順序体でもある。 整数全体 $\mathbb{Z}$ は順序環だが順序体ではない。

抽象代数学において、順序環（じゅんじょかん、テンプレート:Lang-en-short）は、演算と両立するような全順序が定義された（通常は可換な）環を言う。即ち、テンプレート:Mvar が順序環であるとき、任意の元 テンプレート:Math に対し、以下の二つが成り立つ。

• テンプレート:Math ならば テンプレート:Math.
• テンプレート:Math かつ テンプレート:Math ならば テンプレート:Math.

例

順序環は算術においてなじみ深い代数系である。整数全体の成す集合 $\mathbb{Z}$、有理数全体の成す集合 $\mathbb{Q}$、実数全体の成す集合 $ℝ$ はすべて通常の大小関係を順序として順序環となる (後ろの二つは順序体でもある)。それに対し複素数全体の成す集合 $ℂ$ はいかなる順序のもとでも順序環にはならない（虚数単位 i を0以上としても0以下としても矛盾が生じるため）。

正元

実数の集合における概念のアナロジーとして、テンプレート:Math である元 テンプレート:Mvar は正、テンプレート:Math である元 テンプレート:Mvar を負の元と呼ぶ。テンプレート:Math は正でも負でもないとする。

順序環 テンプレート:Mvar の正元全体の成す集合をしばしば テンプレート:Math と表記する。

絶対値

順序環 テンプレート:Mvar の任意の元 テンプレート:Mvar に対し、以下のように絶対値 テンプレート:Math を定めることができる。

$|a|:=\{\begin{array}{cc}a,& \text{if }0\le a,\\ -a,& \text{otherwise.}\end{array}$

ここで テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の加法逆元である。

離散順序環

テンプレート:Math と テンプレート:Math との間に元を持たないような順序環を、離散順序環 (discrete ordered ring) と呼ぶ。整数全体の成す集合 テンプレート:Math などがその例であり、有理数全体の集合 テンプレート:Math や実数全体の集合 テンプレート:Math はそうではない。

性質

テンプレート:Mvarの任意の元 テンプレート:Math に対し、

• テンプレート:Math かつ テンプレート:Math ならば テンプレート:Math。この性質を順序環の定義に用いることもある。
• テンプレート:Math。
• 自明でない順序環は無限環である。
• 次のテンプレート:仮リンク: テンプレート:Mvar は正、テンプレート:Math は正、あるいは テンプレート:Math。この性質は順序環が加法に関してアーベル群かつ全順序群であることから導かれる。これより、$ℂ$ が順序環にはならないことが従う。
• 順序環 テンプレート:Mvar の正元の集合が乗法で閉じているならば、そのときに限り テンプレート:Mvar は零因子を持たない。
• 任意の テンプレート:Math でない元の2乗は正になる。実際、テンプレート:Math で テンプレート:Math であるとすると、テンプレート:Math かつ テンプレート:Math となる。上述の性質より テンプレート:Math か テンプレート:Math のどちらかは正だから、定義の2番目の性質より テンプレート:Mvar も正である。

関連項目

• 順序群
• 順序体

出典

以下の出典にはIsarMathLibプロジェクトの証明を含む。 テンプレート:Reflist