順序群
テンプレート:参照方法 抽象代数学における（半）順序群（じゅんじょぐん、テンプレート:Lang-en-shortテンプレート:Efn）は、両側移動不変な順序関係を付加的な構造として備えた群である。
定義
群 テンプレート:Math と テンプレート:Mvar 上の順序 テンプレート:Math が与えられ テンプレート:Mvar の任意の元 テンプレート:Mvar に対して
- テンプレート:Math ならば テンプレート:Math かつ テンプレート:Math が成り立つ
という意味で順序 テンプレート:Math と群演算 "テンプレート:Math" とが両立するとき、テンプレート:Math は順序群であるという。紛れの惧れがないならばこれを単に順序群 テンプレート:Mvar と書く。
以下、群演算の可換性を仮定しないが、順序群は加法的に記すものとする。即ち、群演算を "テンプレート:Math", 群の単位元を テンプレート:Math, テンプレート:Mvar の逆元を テンプレート:Mvar で表す。
順序群 テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の正元 (positive element) とは テンプレート:Math を満たすことを言う。テンプレート:Mvar の正元全体の成す集合を テンプレート:Mvar の正錐 (positive cone) と呼び、しばしば テンプレート:Mvar で表す。正錐を用いれば、テンプレート:Math と書ける。
一般の群 テンプレート:Mvar に対して、正錐の存在は テンプレート:Mvar を順序群とする順序を一意的に定める。即ち、群 テンプレート:Mvar が順序群となるための必要十分条件は、以下の条件を満たす部分集合 テンプレート:Mvar が存在することである（この テンプレート:Mvar が正錐 テンプレート:Mvar になる）。
- テンプレート:Math
- テンプレート:Math かつ テンプレート:Math ならば テンプレート:Math
- テンプレート:Math ならば テンプレート:Math が各 テンプレート:Math に対して成り立つ。
- テンプレート:Math かつ テンプレート:Math ならば テンプレート:Math である
従ってしばしばこの条件を満たす組 テンプレート:Math を順序群と定義することもある。
諸概念
順序群 テンプレート:Mvar とその正錐 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar が無孔 (unperforated) であるとは、適当な自然数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math ならば必ず テンプレート:Math が成り立つことを言う。 無孔であることは、正錐 テンプレート:Mvar に「隙間」("gap") がないことを意味する。
順序群の順序が全順序ならば全順序群（または線型順序群）といい、順序が束（つまり任意の二元集合が上限を持つ） ならば束群 (lattice-ordered group; ℓ-group) と呼ぶ。
リース群は束群より少し弱い性質を満たす無孔順序群である。つまり、リース群は
- リースの補間条件: テンプレート:Mvar の任意の元 テンプレート:Math は、テンプレート:Math を満たすならば適当な テンプレート:Math が存在して テンプレート:Math とすることができる
を満足する。
二つの順序群 テンプレート:Mvar に対して、写像 テンプレート:Math が順序群の準同型であるとは、テンプレート:Mvar は抽象群の準同型であってかつ単調写像となっていることを言う。順序群の全体は、順序群の準同型を射として圏を成す。
例
- テンプレート:Ill2は順序群である。
- リース空間は束群である。
- テンプレート:Math に成分ごとの和で群演算を入れたものに、順序を で入れたもの（右辺は整数の通常の大小関係）は順序群の典型的な例である。
- より一般に、順序群 テンプレート:Mvar と勝手な集合 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像全体の成す空間 テンプレート:Mvar は成分ごとの演算によりまた順序群になる。また、順序群 テンプレート:Mvar の任意の（単に群としての）部分群は テンプレート:Mvar の順序をそこへ制限した順序に関して順序群を成す。
注
注釈
出典
参考文献
関連文献
- テンプレート:Citation
- テンプレート:Citation, chap. 9.
- テンプレート:Citation
- テンプレート:Citation
- テンプレート:Citation
- テンプレート:Citation
- テンプレート:Citation
- テンプレート:Citation
- テンプレート:Citation