類関数のソースを表示

[[数学]]の[[群論]]における'''類関数'''（るいかんすう、{{lang-en-short|''class function''}}）は、[[群 (数学)|群]]上で定義される[[関数 (数学)|関数]]であって、共軛類上では定数となるもののことをいう。複素数値の類函数は[[コンパクト群]]の[[群の表現|表現論]]で重要である。自乗可積分な複素数値類函数は{{仮リンク|ヒルベルト代数|label=ヒルベルト（多元）環|de|Hilbertalgebra|en|Commutation theorem#Hilbert algebras}}（例えば有限離散群の[[群環]]や[[位相群の群環]]）の中心元として現れるため、'''中心函数''' (central function) とも呼ばれる。

{{mvar|G}} が[[位相群]]のとき、一般に類函数としては[[可測函数|可測]]あるいはさらに[[連続写像|連続]]であるものに限って言う。

== 定義 ==
[[群 (数学)|群]] {{mvar|G}} 上の函数 {{mvar|f}} が'''中心的'''あるいは'''類函数'''であるとは、{{mvar|G}} の任意の元 {{mvar|s, t}} に対して
: <math>f(sts^{-1})=f(t)</math>
が成り立つときに言う。あるいは同じことだが、自然な[[全単射]] {{math|(''s'', ''t'') ↦ (''u'' {{=}} ''st'', ''v'' {{=}}''s''{{msup|−1}})}} を考えれば、任意の {{mvar|u, v}} に対して
: <math>f(uv) = f(vu)</math>
を満たすということもできる。

== 性質 ==
[[可換体]] {{mvar|K}} に対し、群 {{mvar|G}} は（{{mvar|G}} から {{mvar|K}} への写像全体の成す）配置集合 {{mvar|K{{msup|G}}}} に
: {{math|''s.f'': ''t'' ↦ ''f''(''sts''{{msup|−1}})}}
で、自然に[[群作用|作用]]する。{{mvar|G}} 上の {{mvar|K}}-値類函数はこの[[群の表現|表現]]の[[不動点]]であり、従ってその全体はベクトル空間 {{mvar|K{{msup|G}}}} の[[部分線型空間]]を成す。

{{mvar|G}} 上の {{mvar|K}}-値類函数の成すベクトル空間は、{{mvar|G}} の共軛類全体の成す集合を {{mvar|C}} とすれば、{{mvar|K{{msup|''C''}}}} に自然に同型である。

== 例 ==
* [[アーベル群]]上の任意の函数は中心的である。実際、アーベル群の共軛類は全て[[単元集合]]である。
* もう少し自明でない類函数の例は、アーベル群に値をとる[[群準同型]]によって与えられる。
* 他に類函数の例として、[[ねじれ群]] {{mvar|G}} から[[自然数]]半群 {{math|ℕ{{msup|&lowast;}}}} への、群の各元にその[[位数 (群論)|位数]]を割り当てる写像が挙げられる。

== コンパクト群のヒルベルト環 ==
{{seealso|位相群の群環}}
{{mvar|G}} を[[コンパクト群]]として、その上の[[ハール測度]] {{mvar|λ}} を平行移動不変な唯一の確率測度として定義する。{{math|''L''{{exp|2}}(''G'')}} は {{mvar|G}} 上の自乗 {{mvar|λ}}-可積分函数全体の成す[[ヒルベルト空間]]とすれば、この空間上に以下の二つの演算を入れることができる:
* 結合的、分配的で[[定数函数]] {{math|1}} を単位元とする[[畳み込み]]積
*: <math>f*g(s)=\int_Gf(t)g(st^{-1})d\lambda(t)\quad(f,g\in L^2(G)),</math>
* [[対合]]
*: <math>f^*(s)=\overline{f(s^{-1})}\quad(f\in L^2(G)).</math>
これらにより {{math|''L''{{exp|2}}(''G'')}} は[[対合バナハ環]]となり、さらに{{仮リンク|ヒルベルト代数|label=ヒルベルト環|de|Hilbertalgebra|en|Commutation theorem#Hilbert algebras}}を成す。この環に関する研究は {{mvar|G}} の連続表現に関係する（{{仮リンク|ピーター–ワイルの定理|en|Peter–Weyl theorem}}を参照）。

この関係性は {{math|''L''{{exp|2}}(''G'')}} の中心を通じて示される。実際、直接計算により可測函数 {{mvar|f, g}} が自乗可積分ならば
: <math>f*g(s)-g*f(s)=\int_Gg(t^{-1})[f(st)-f(ts)]\,d\lambda(t)</math></center>
であり、また函数 {{mvar|f}} が {{math|''L''{{exp|2}}(''G'')}} の中心に入る必要十分条件は、任意の {{math|''g'' ∊ ''L''{{exp|2}}(''G'')}} に対して二つの畳み込み {{mvar|''f'' ∗ ''g''}} と {{math|''g'' ∗ ''f''}} が殆ど至る所一致することだが、これらは連続ゆえ至る所一致する。したがってこれは {{mvar|G}} の任意の {{mvar|u, v}} に対して {{math|''f''(''uv'') {{=}} ''f''(''vu'')}} と同値である。

{{math|''L''{{exp|2}}(''G'')}} の中心は、{{mvar|G}} 上の自乗可積分かつ中心的な可測函数（の類）全体の成す閉部分空間である。

=== コンパクト群の指標 ===
コンパクト群 {{mvar|G}} 上の有限次元{{仮リンク|連続表現|en|continuous representation}}とは、有限次元複素ベクトル空間 {{mvar|V}} に対して、連続写像 {{math|ρ: ''G'' → ''GL''(''V'')}} のことを言う。{{仮リンク|コンパクト群の指標|fr|Caractère d'un groupe compact|label=付随する指標}}は
: <math>\chi_{\rho}(s)= \operatorname{tr}[\rho(s)]</math>
で定義される類函数である。同値な二つの表現は同じ指標を持つ。

連続既約表現に付随する指標を既約指標と呼ぶ。任意の既約指標は {{math|''L''{{exp|2}}(''G'')}} に属し、互いに同値でない既約指標は互いに直交する。また既約指標の全体は {{math|''L''{{exp|2}}(''G'')}} の[[ヒルベルト基底]]を成す。

[[有限群]] {{mvar|G}} に対しては、既約表現の数は {{mvar|G}} の共軛類の数に等しい。

== 参考文献 ==
* {{cite book| first=Jean-Pierre | last=Serre | title= Linear representations of finite groups | series= [[Graduate Texts in Mathematics]] | volume= 42 | publisher= Springer-Verlag | location= Berlin | year= 1977}}

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|有限群上の類函数|fr|Fonction centrale sur un groupe fini}}
* [[位相群の群環]]: 局所コンパクト群の C*-環

== 外部リンク ==
* {{PlanetMath|title=Class Function|urlname=ClassFunction}}

{{DEFAULTSORT:るいかんすう}}
[[Category:群の表現論]]
[[Category:数学に関する記事]]