類関数
数学の群論における類関数（るいかんすう、テンプレート:Lang-en-short）は、群上で定義される関数であって、共軛類上では定数となるもののことをいう。複素数値の類函数はコンパクト群の表現論で重要である。自乗可積分な複素数値類函数はテンプレート:仮リンク（例えば有限離散群の群環や位相群の群環）の中心元として現れるため、中心函数 (central function) とも呼ばれる。
テンプレート:Mvar が位相群のとき、一般に類函数としては可測あるいはさらに連続であるものに限って言う。
定義
群 テンプレート:Mvar 上の函数 テンプレート:Mvar が中心的あるいは類函数であるとは、テンプレート:Mvar の任意の元 テンプレート:Mvar に対して
が成り立つときに言う。あるいは同じことだが、自然な全単射 テンプレート:Math を考えれば、任意の テンプレート:Mvar に対して
を満たすということもできる。
性質
可換体 テンプレート:Mvar に対し、群 テンプレート:Mvar は（テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像全体の成す）配置集合 テンプレート:Mvar に
で、自然に作用する。テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-値類函数はこの表現の不動点であり、従ってその全体はベクトル空間 テンプレート:Mvar の部分線型空間を成す。
テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-値類函数の成すベクトル空間は、テンプレート:Mvar の共軛類全体の成す集合を テンプレート:Mvar とすれば、テンプレート:Mvar に自然に同型である。
例
- アーベル群上の任意の函数は中心的である。実際、アーベル群の共軛類は全て単元集合である。
- もう少し自明でない類函数の例は、アーベル群に値をとる群準同型によって与えられる。
- 他に類函数の例として、ねじれ群 テンプレート:Mvar から自然数半群 テンプレート:Math への、群の各元にその位数を割り当てる写像が挙げられる。
コンパクト群のヒルベルト環
テンプレート:Seealso テンプレート:Mvar をコンパクト群として、その上のハール測度 テンプレート:Mvar を平行移動不変な唯一の確率測度として定義する。テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の自乗 テンプレート:Mvar-可積分函数全体の成すヒルベルト空間とすれば、この空間上に以下の二つの演算を入れることができる:
- 結合的、分配的で定数函数 テンプレート:Math を単位元とする畳み込み積
- 対合
これらにより テンプレート:Math は対合バナハ環となり、さらにテンプレート:仮リンクを成す。この環に関する研究は テンプレート:Mvar の連続表現に関係する（テンプレート:仮リンクを参照）。
この関係性は テンプレート:Math の中心を通じて示される。実際、直接計算により可測函数 テンプレート:Mvar が自乗可積分ならば
であり、また函数 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の中心に入る必要十分条件は、任意の テンプレート:Math に対して二つの畳み込み テンプレート:Mvar と テンプレート:Math が殆ど至る所一致することだが、これらは連続ゆえ至る所一致する。したがってこれは テンプレート:Mvar の任意の テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math と同値である。
テンプレート:Math の中心は、テンプレート:Mvar 上の自乗可積分かつ中心的な可測函数（の類）全体の成す閉部分空間である。
コンパクト群の指標
コンパクト群 テンプレート:Mvar 上の有限次元テンプレート:仮リンクとは、有限次元複素ベクトル空間 テンプレート:Mvar に対して、連続写像 テンプレート:Math のことを言う。テンプレート:仮リンクは
で定義される類函数である。同値な二つの表現は同じ指標を持つ。
連続既約表現に付随する指標を既約指標と呼ぶ。任意の既約指標は テンプレート:Math に属し、互いに同値でない既約指標は互いに直交する。また既約指標の全体は テンプレート:Math のヒルベルト基底を成す。
有限群 テンプレート:Mvar に対しては、既約表現の数は テンプレート:Mvar の共軛類の数に等しい。
参考文献
関連項目
- テンプレート:仮リンク
- 位相群の群環: 局所コンパクト群の C*-環