飽和集合のソースを表示

'''飽和集合'''（ほうわしゅうごう）は、[[数学]]（特に[[集合論]]や[[位相空間論]]の下位分野）において、集合 <math>C</math> と関数 <math>f \colon X \to Y</math> に対して、<math>C</math> が <math>f</math> の[[定義域]] <math>X</math> の部分集合で、<math>f</math> が2点 <math>c \in C</math> と <math>x \in X</math> を同じ値に写すならば、<math>x</math> は <math>C</math> に属する（つまり、<math>f(x) = f(c)</math> ならば <math>x\in C</math> である）とき、<math>C</math> は <math>f</math> について'''飽和的'''あるいは'''飽和している'''（saturated）という。より簡潔には、集合 <math>C</math> は <math>C = f^{-1}(f(C))</math> のとき、'''飽和している'''という。

位相空間論において、位相空間 <math>(X, \tau)</math> の部分集合が <math>X</math> の開集合の交差に等しいときに、その部分集合は飽和しているという。[[T1空間|T<sub>1</sub>空間]]では任意の集合が飽和している。

== 定義 ==

=== 準備 ===
<math>f \colon X \to Y</math> を写像とする。任意の部分集合 <math>S\subseteq X</math> に対して、<math>f</math> による[[像 (数学)|像]]を、集合<math display="block">f^{-1}(y) := f^{-1}(\{y\}) = \{x \in X \mid f(x) = y\}</math>と定義し、<math>f</math> の原像あるいは逆像を、集合<math display="block">f(S) := \{f(s) \mid  s \in S\}</math>と定義する。<math>y \in Y</math> をとるとき、<math>f</math> の <math>y</math> 上の[[ファイバー (数学)|ファイバー]]とは、原像<math display="block">f^{-1}(S) := \{x \in X \mid f(x) \in S\}</math>と定義する。

=== 飽和集合 ===
集合 <math>C</math> が <math>f</math> の定義域 <math>X</math> の部分集合で、以下の同値な条件のいずれかを満たしているとき、<math>C</math> は {{em|'''<math>f</math>-飽和'''}} あるいは {{em|<math>f</math> について'''飽和している'''}}という：{{sfn|Monk|1969|pp=24-54}} 

# <math>C = f^{-1}(f(C))</math> 。
# ある集合 <math>S</math> が存在して <math>C = f^{-1}(S)</math> となる。
#* このような集合 <math>S</math> は <math>f(C)</math> を部分集合として含む必要がある。また、等式<math>f(C) = S \cap \operatorname{Im} f</math> も満たす必要がある。ここで、<math>\operatorname{Im} f := f(X)</math> は <math>f</math> の像を意味する。
# <math>c \in C</math> と <math>x \in X</math> が <math>f(x) = f(c)</math> を満たすならば、<math>x \in C</math> である。
# <math>y \in Y</math> について、ファイバー <math>f^{-1}(y)</math> が <math>C</math> と交叉する（すなわち <math>f^{-1}(y) \cap C \neq \varnothing</math> ）とき、このファイバーは <math>C</math> の部分集合でなければならない（すなわち <math>f^{-1}(y) \subseteq C</math> ）。
# 任意の <math>y \in Y</math> に対して、交叉 <math>C \cap f^{-1}(y)</math> は[[空集合]] <math>\varnothing</math> または <math>f^{-1}(y)</math> に等しい。

== 例 ==
<math>f \colon X \to Y</math> を任意の関数とする。<math>S</math> が''任意の''集合のとき、その <math>f</math> の元での原像 <math>C:= f^{-1}(S)</math> は<math>f</math>-飽和集合でなければならない。特に、写像 <math>f</math> の任意のファイバーは <math>f</math>-飽和集合である。 

[[空集合]] <math>\varnothing = f^{-1}(\varnothing)</math> と定義域 <math>X = f^{-1}(Y)</math> は常に飽和している。飽和集合の任意の[[和集合|合併]]は飽和集合であり、同じく飽和集合の任意の[[共通部分 (数学)|交叉]]も飽和集合である。

== 性質 ==
<math>S</math> と <math>T</math> を任意の集合とし、<math>f \colon  X \to Y</math> を任意の関数とする。

<math>S</math> または <math>T</math> が <math>f</math>-飽和ならば、<math display="block">f(S \cap T) ~=~ f(S) \cap f(T).</math><math>T</math> が <math>f</math>-飽和ならば<math display="block">f(S \setminus T) ~=~ f(S) \setminus f(T)</math>である。ここで特に、集合 <math>S</math> について何の条件も課していないことに留意しよう。

<math>\tau</math> が <math>X</math> の[[位相空間|位相]]（開集合族）であり、<math>f \colon  X \to Y</math> が任意の写像のとき、 <math>X</math> の飽和的な開集合 <math>U \in \tau</math> 全体のなす集合族 <math>\tau_f</math> は <math>X</math> の位相になる。<math>Y</math> が位相空間のときは、<math>f\colon (X, \tau) \to Y</math> が連続（resp. 商写像）であるときかつそのときに限り、同じことが <math>f \colon  \left(X, \tau_f\right) \to Y</math> についても成り立つ。

== 参照 ==
{{reflist}}

* {{cite encyclopedia|author1=G. Gierz|author2=K. H. Hofmann|author3=K. Keimel|author4=J. D. Lawson|author5=M. Mislove|author6=D. S. Scott|author6link = Dana Scott|name-list-style=amp|encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics and its Applications|title=Continuous Lattices and Domains|year=2003|publisher=Cambridge University Press|volume=93|isbn=0-521-80338-1|url-access=registration|url=https://archive.org/details/continuouslattic0000unse}}
* {{cite book|last=Monk|first=James Donald|title=Introduction to Set Theory|publisher=McGraw-Hill|publication-place=New York|url=http://euclid.colorado.edu/~monkd/monk11.pdf|year=1969|series=International series in pure and applied mathematics|isbn=978-0-07-042715-0|oclc=1102}} <!-- {{sfn | Monk | 1969 | p=}} -->
* {{Munkres Topology|edition=2}} <!-- {{sfn | Munkres | 2000 | p=}} -->

<!-- 記事立項後に表示
== 関連項目 ==
* [[集合の等式や関係式のリスト]] — 集合の組み合わせに関する等式集-->
{{DEFAULTSORT:ほうわしゆうこう}}
[[Category:位相空間論]]
[[Category:集合の基本概念]]
[[Category:数学に関する記事]]