高度合成数のソースを表示

{{出典の明記|date=2021年5月3日 (月) 10:00 (UTC)}}
{| class="wikitable" style="text-align:center; float:right; margin:0px 0px 3px 7px;"
! 番目 !! 高度合成数 !! 約数の個数
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| 1
| [[1]]
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| 2
| [[2]]
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| [[6]]
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| [[12]]
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| 6
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| 7
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| 8
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| 10
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| 9
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| 12
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| [[120]]
| 16
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| 18
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| 12
| [[240]]
| 20
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| [[360]]
| 24
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| 14
| [[720]]
| 30
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| [[840]]
| 32
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| 16
| [[1260]]
| 36
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| 17
| [[1680]]
| 40
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| 18
| [[2520]]
| 48
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| 19
| [[5040]]
| 60
|-
| 20
| [[7560]]
| 64
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| 21
| [[10080]]
| 72
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| 22
| [[15120]]
| 80
|-
| 23
| [[20160]]
| 84
|-
| 24
| [[25200]]
| 90
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| 25
| [[27720]]
| 96
|-
| 26
| [[45360]]
| 100
|-
| 27
| [[50400]]
| 108
|-
| 28
| [[55440]]
| 120
|-
| 29
| [[83160]]
| 128
|-
| 30
| [[110880]]
| 144
|-

|}
'''高度合成数'''（こうどごうせいすう、[[英語|英]]: highly composite number）とは、[[自然数]]で、それ未満のどの自然数よりも[[約数]]の個数が多いものをいう。

1から順に高度合成数を表すと
:[[1]], [[2]], [[4]], [[6]], [[12]], [[24]], [[36]], [[48]], [[60]], [[120]], [[180]], [[240]], [[360]], [[720]], [[840]], [[1260]], [[1680]],…({{OEIS|A002182}})

例えば'''24'''は約数を（1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24）と8個持ち、24未満で約数を8個以上持つ自然数は存在しないので、高度合成数である。なお1と2は[[合成数]]ではないが、高度合成数に含める。
[[File:Highly composite number Cuisenaire rods 6.png|75px|thumb|{{ill2|クイゼネールロッド|en|Cuisenaire rod}}を用いた最初の4つの高度合成数1, 2, 4, 6のデモンストレーション]]

== 素因数分解との関係 ==
[[約数#約数の個数|約数の個数]]は[[素因数分解]]で求まる。例えば [[15120]] = 2<sup>4</sup> × 3<sup>3</sup> × 5 × 7　であるから、約数の個数は (4+1) × (3+1) × (1+1) × (1+1) = 80 個である。

== 概要 ==
高度合成数の概念は、インドの数学者[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]により考案された。

明らかに高度合成数は無限に存在する。というのも、正整数の正の約数の個数はいくらでも大きくなりうるためである。

高度合成数は
:<math>2^{a_2}3^{a_3}5^{a_5}\cdots p(b)^{a_{p(b)}}</math>
という形で[[素因数分解]]され、
:<math>a_2\geq a_3\geq\cdots\geq a_{p(b)}</math>
を満たす数である (''p''(''b'')は 2 から数えて''b''番目の素数)。

また[[素因数]]には 2 から ''p''(''b'') までの全ての[[素数]]を含む。

なお 4 と 36 以外の高度合成数では ''a<sub>p</sub>''= 1 である。

したがって高度合成数のうち[[平方数]]は '''4''' と '''36''' のみであり、それ以外の[[累乗数]]は高度合成数にはなりえない。

高度合成数は、伝統的な[[度量衡]]の体系にしばしば現れ（例：時間の24や [[60]]、角度の360、[[ダース]]の [[12]] など）、また工学的な設計によく使われる。

これは除算を含む計算が簡単に行える利点による。

''Q''(''x'') で ''x'' 以下の高度合成数の個数を表すと、1 より大きな定数 ''a'', ''b'' が存在して
:([[自然対数|log<sub>''e''</sub>]] ''x'')<sup>''a''</sup> &le; ''Q''(''x'') &le; (log<sub>''e''</sub> ''x'')<sup>''b''</sup>
が成り立つ。

== 関連項目 ==
* [[合成数]]
* [[超過剰数]]

{{Divisor classes}}
{{DEFAULTSORT:こうとこうせいすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]