高度合成数

高度合成数（こうどごうせいすう、英: highly composite number）とは、自然数で、それ未満のどの自然数よりも約数の個数が多いものをいう。

1から順に高度合成数を表すと

例えば24は約数を（1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24）と8個持ち、24未満で約数を8個以上持つ自然数は存在しないので、高度合成数である。なお1と2は合成数ではないが、高度合成数に含める。

素因数分解との関係

約数の個数は素因数分解で求まる。例えば 15120 = 2⁴ × 3³ × 5 × 7　であるから、約数の個数は (4+1) × (3+1) × (1+1) × (1+1) = 80 個である。

高度合成数の概念は、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンにより考案された。

明らかに高度合成数は無限に存在する。というのも、正整数の正の約数の個数はいくらでも大きくなりうるためである。

高度合成数は

2^{a_{2}} 3^{a_{3}} 5^{a_{5}} \dots p (b)^{a_{p (b)}}

という形で素因数分解され、

a_{2} \geq a_{3} \geq \dots \geq a_{p (b)}

を満たす数である (p(b)は 2 から数えてb番目の素数)。

また素因数には 2 から p(b) までの全ての素数を含む。

なお 4 と 36 以外の高度合成数では a_p= 1 である。

したがって高度合成数のうち平方数は 4 と 36 のみであり、それ以外の累乗数は高度合成数にはなりえない。

高度合成数は、伝統的な度量衡の体系にしばしば現れ（例：時間の24や 60、角度の360、ダースの 12 など）、また工学的な設計によく使われる。

これは除算を含む計算が簡単に行える利点による。

Q(x) で x 以下の高度合成数の個数を表すと、1 より大きな定数 a, b が存在して

(log_e x)^a ≤ Q(x) ≤ (log_e x)^b

が成り立つ。