1+1+1+1+…のソースを表示

{{Multiple image
|image1 = Sum1111Plain.svg
|alt1 = A graph depicting the series with layered boxes
|caption1 = 級数 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
|image2 = Sum1111Smoothed.svg
|alt2 = A graph depicting the smoothed series with layered curving stripes
|caption2 = 滑らかにした後
}}
[[File:Sum1111Asymptote.svg|thumb|滑らかにすることの漸近的挙動。直線の ''y'' 切片は -{{sfrac|1|2}} である<ref>{{Citation
|first = Terence
|last = Tao
|authorlink = Terence Tao
|date = April 10, 2010
|title = The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation
|url = https://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/
|accessdate = January 30, 2014
}}</ref>。
|alt=A graph showing a line that dips just below the y-axis]]

[[数学]]において'''1 + 1 + 1 + 1 + · · ·''' は[[発散級数|発散する級数]]のひとつである。

つまり、その[[部分和]]の列がいかなる[[実数]]にも[[収束級数|収束]]しない。
<math>\sum_{n=1}^{\infin} n^0</math> や <math>\sum_{n=1}^{\infin} 1^n</math>
、あるいは単に <math>\sum_{n=1}^{\infin} 1</math> とも書かれる。これは[[公比]]が 1 の[[等比数列|幾何級数]]と考えることもできる。

他の（−1 を除く）[[有理数]]の公比をもった幾何級数とは違って、実数においても[[p進数|{{mvar|p}}-進数]]においても収束しない。[[拡大実数]]で考えれば、
:<math>\sum_{n=1}^{\infin} 1=+\infty</math>
である、なぜならばその部分和の列は上限なしに[[単調写像|単調]]に増加するからである。

{{math|''n''{{sup|0}}}} の和が[[理論物理学|物理的]]応用において現れるとき、それはときどき[[ゼータ函数正規化|ゼータ関数の正規化]]によって解釈されるかもしれない。それは[[リーマンのゼータ関数]]
:<math>\zeta (s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =\frac{1}{1-2^{1-s}} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s}</math>
の {{math|1=''s'' = 0}} における値である。しかしながら上記2つの式は 0 において有効でないので、リーマンのゼータ関数の[[解析接続]]を用いなければならない。
:<math>\zeta (s)=2^s\pi^{s-1} \ \sin \frac{\pi s}{2} \ \Gamma (1-s)\ \zeta(1-s)</math>
これを使うことで（<math>\Gamma (1)=1</math> なので）以下を得る。
:<math>\zeta (0)=\frac{1}{\pi} \lim_{s\rightarrow 0} \ \sin \frac{\pi s}{2} \ \zeta (1-s)=\frac{1}{\pi} \lim_{s\rightarrow 0} \ \left( \frac{\pi s}{2} -\frac{\pi^3 s^3}{48} +\cdots \right) \ \left( -\frac{1}{s} +\cdots \right) =-\frac{1}{2}</math>
これから {{math|1=''s'' = 1}} における {{math|ζ(''s'')}} のベキ級数展開がしたがう。なぜならば、{{math|ζ(''s'')}} はそこで[[留数]]が1の1位の極をもつからだ。この意味で {{math|1=1 + 1 + 1 + 1 + … = ζ(0) = −{{sfrac|1|2}}}} である。
[[:en:Emilio Elizalde|Emilio Elizalde]] はこの級数に対する姿勢についての逸話を紹介している。
{{blockquote|1=In a short period of less than a year, two distinguished physicists, [[:en:Andrei Slavnov|A. Slavnov]] and [[:en:Francisco José Ynduráin|F. Yndurain]], gave seminars in Barcelona, about different subjects. It was remarkable that, in both presentations, at some point the speaker addressed the audience with these words: 'As everybody knows, {{math|1=1 + 1 + 1 + · · · = −{{sfrac|1|2}}}}'. Implying maybe: ''If you do not know this, it is no use to continue listening.''<ref>{{cite conference
|first=Emilio
|last=Elizalde
|title = Cosmology: Techniques and Applications
|book-title = Proceedings of the II International Conference on Fundamental Interactions
|year = 2004
}}. [[arXiv]]:[https://arxiv.org/abs/gr-qc/0409076 gr-qc/0409076]</ref>

（日本語訳：1年に満たない短期間に、2人の著名な物理学者、A. Slavnov と F. Yndurain が、バルセロナで異なる主題についてのセミナーを行った。驚くべきことに、両方のプレゼンテーションで、あるとき発表者が聴衆にこう演説した。「皆が知っているように、{{math|1=1 + 1 + 1 + · · · = −{{sfrac|1|2}}}} である。」たぶん次のことを暗に意味していたのだろう。『もしこのことを知らなければ、聴き続けるのは無駄だ』）}}

== 関連項目 ==
*[[1−1+2−6+24−120+…|1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + …]]
*[[調和級数]]

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 外部リンク ==
*{{OEIS|A000027}}

{{級数}}

{{Mathanalysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:/1いちたすいちたすいちたすいち}}
[[Category:級数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:1]]