1+1+1+1+…

滑らかにすることの漸近的挙動。直線の y 切片は -テンプレート:Sfrac である。

数学において1 + 1 + 1 + 1 + · · · は発散する級数のひとつである。

つまり、その部分和の列がいかなる実数にも収束しない。 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^0$ や $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{1}^n$ 、あるいは単に $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1$ とも書かれる。これは公比が 1 の幾何級数と考えることもできる。

他の（−1 を除く）有理数の公比をもった幾何級数とは違って、実数においても[[p進数|テンプレート:Mvar-進数]]においても収束しない。拡大実数で考えれば、

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1=+\mathrm{\infty }$

である、なぜならばその部分和の列は上限なしに単調に増加するからである。

テンプレート:Math の和が物理的応用において現れるとき、それはときどきゼータ関数の正規化によって解釈されるかもしれない。それはリーマンのゼータ関数

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^s}$

の テンプレート:Math における値である。しかしながら上記2つの式は 0 において有効でないので、リーマンのゼータ関数の解析接続を用いなければならない。

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \frac{\pi s}{2}\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s)$

これを使うことで（$\mathrm{\Gamma }(1)=1$ なので）以下を得る。

$\zeta (0)=\frac{1}{\pi }\underset{s\to 0}{\lim }\sin \frac{\pi s}{2}\zeta (1-s)=\frac{1}{\pi }\underset{s\to 0}{\lim }(\frac{\pi s}{2}-\frac{{\pi }^3{s}^3}{48}+\cdots )(-\frac{1}{s}+\cdots )=-\frac{1}{2}$

これから テンプレート:Math における テンプレート:Math のベキ級数展開がしたがう。なぜならば、テンプレート:Math はそこで留数が1の1位の極をもつからだ。この意味で テンプレート:Math である。 Emilio Elizalde はこの級数に対する姿勢についての逸話を紹介している。 テンプレート:Blockquote

関連項目

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + …
• 調和級数

外部リンク

• テンプレート:OEIS