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'''1/6公式、6分の1公式'''（ろくぶんのいちこうしき）は、[[積分法|定積分]]に関する以下の等式である。

<math>\int _{\alpha }^{\beta}\left( x-\alpha \right) \left( x-\beta \right) dx=-\dfrac{1}{6} \left( \beta -\alpha \right) ^{3}</math> 

== 導出 ==
<math>\begin{aligned}
\int _{\alpha }^{\beta }\left( x-\alpha \right) \left( x-\beta \right) dx &= \int ^{\beta }_{\alpha }\left\{ x^{2}-\left( \alpha +\beta \right) x+\alpha \beta \right\} dx \\ 
                                                                          &= \left[ \dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2}\left( \alpha +\beta \right) x^{2}+\alpha \beta x\right] _{\alpha }^{\beta }\\
                                                                          &= \dfrac{1}{3}\beta ^{3}-\dfrac{1}{2}\left( \alpha +\beta \right) \beta ^{2}+\alpha \beta ^{2}-\dfrac{1}{3}\alpha ^{3}+\dfrac{1}{2}\left( \alpha+\beta \right) \alpha ^{2}-\alpha ^{2}\beta \\
                                                                          &= \dfrac{1}{3}\beta ^{3}-\dfrac{1}{2}\alpha \beta ^{2}-\dfrac{1}{2}\beta ^{3}+\alpha \beta ^{2}-\dfrac{1}{3}\alpha ^{3}+\dfrac{1}{2}\alpha^{3}-\dfrac{1}{2}\alpha ^{2} \beta -\alpha ^{2}\beta \\
                                                                          &= -\dfrac{1}{6}\beta ^{3}+\dfrac{1}{2}\alpha \beta ^{2}-\dfrac{1}{2}\alpha ^{2}\beta +\dfrac{1}{6}\alpha ^{3} \\
                                                                          &= -\dfrac{1}{6}\left( \beta ^{3}-3\alpha ^{2}\beta +3\alpha \beta ^{2}-\alpha ^{3}\right) \\
                                                                          &= -\dfrac{1}{6}\left( \beta -\alpha \right) ^{3}
\end{aligned}
                                                                          </math>

次のように工夫して計算することもできる。

<math>\begin{aligned}
\int _{\alpha }^{\beta }\left( x-\alpha \right) \left( x-\beta \right) dx &= \int _{\alpha }^{\beta }\left( x-\alpha \right) \left\{ \left( x-\alpha \right) +\left( \alpha-\beta \right) \right\} dx \\ 
                                                                          &= \int _{\alpha }^{\beta }\left\{ \left( x-\alpha \right) ^{2}+\left( \alpha -\beta \right) \left( x-\alpha \right) \right\} dx \\
                                                                          &= \left[ \dfrac{1}{3}\left( x-\alpha \right) ^{3}- \dfrac{1}{2} \left( \beta -\alpha \right) \left( x-\alpha \right) ^{2}\right] _{\alpha }^{\beta } \\
                                                                          &= \dfrac{1}{3} \left( \beta -\alpha \right) ^{3}-\dfrac{1}{2} \left( \beta -\alpha \right) ^{3} \\
                                                                          &= -\dfrac{1}{6}\left( \beta -\alpha \right) ^{3}
\end{aligned}</math>

また、[[部分積分]]を用いて計算することもできる。

<math>\begin{aligned}
\int _{\alpha }^{\beta }\left( x-\alpha \right) \left( x-\beta \right) dx &= \left[ \dfrac{1}{2}\left( x-\alpha \right) ^{2}\left( x-\beta \right) \right] _{\alpha }^{\beta }-\int _{\alpha }^{\beta }\dfrac{1}{2}\left( x-\alpha \right) ^{2}dx \\
                                                                          &= -\left[ \dfrac{1}{6}\left( x-\alpha \right) ^{3}\right] _{\alpha }^{\beta } \\
                                                                          &= -\dfrac{1}{6}\left( \beta-\alpha \right) ^{3}
\end{aligned}</math>

== 利用 ==
[[放物線]]と[[直線]]で囲まれた図形の面積を素早く求めることができる。

例えば、{{mvar|xy}}[[直交座標系|平面]]上の放物線<math>y=x^2+4x-5</math>と直線<math>y=2x-2</math>で囲まれた図形の面積を求めるためには<math>\int _{-3}^{1}\left( -x^{2}-2x+3 \right) dx</math>の計算が必要になるが、これを<math>\int _{-3}^{1} - \left( x+3\right) \left( x-1\right) dx</math>と変形すると1/6公式により<math>\dfrac{1}{6}\left( 1+3\right) ^{3}=\dfrac{32}{3}</math>となり、素早く計算することができる。

また、1/6公式の応用として、

* 放物線<math>y=ax^{2}+bx+c</math>と直線の交点の{{mvar|x}}座標を<math>\alpha,\beta (\alpha<\beta)</math>とおくと、この放物線と直線で囲まれた部分の面積は<math>\dfrac{\left| a\right| }{6}\left( \beta -\alpha \right) ^{3}</math>と計算できる<ref>{{Cite web |title=1/6公式 {{!}} おいしい数学 |url=https://hiraocafe.com/note/frac16koushiki.html |website=hiraocafe.com |access-date=2024-07-21}}</ref>。

* 放物線<math>y=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}</math>と<math>y=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}</math>の交点の{{mvar|x}}座標を<math>\alpha,\beta (\alpha<\beta)</math>とおくと、この2つの放物線で囲まれた部分の面積は<math>\dfrac{\left| a_{1}-a_{2}\right| }{6}\left( \beta -\alpha \right) ^{3}</math>と計算できる<ref name=":01">{{Cite web |title=放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式 |url=https://manabitimes.jp/math/594 |website=高校数学の美しい物語 |date=2022-06-23 |access-date=2024-07-21 |language=ja}}</ref>。

1/6公式の一般化として、<math>\int _{\alpha }^{\beta }\left( x-\alpha \right) ^{m}\left( \beta -x\right) ^{n}dx=\dfrac{m!n!}{\left( m+n+1\right) !}\left( \beta -\alpha \right) ^{m+n+1}</math>がある<ref name=":01" />。

== その他 ==
途中計算の記述が不要である[[マークシート]]試験において、積分計算に使われることがある。

[[大阪大学]]の[[2022年]]度の[[文系と理系|文系]]の数学の[[入学試験|入試]]問題において、1/6公式に似た等式を証明する問題が出題された<ref>{{Cite web |title=2022年阪大文系3 |url=http://k-kyogoku2.com/cn105/corner1878/pg54.html |website=京極一樹の数学塾 |access-date=2024-07-21 |language=ja-JP}}</ref>。

== 出典 ==
<references />

{{DEFAULTSORT:1/6ろくふんのいちこうしき}}
[[Category:数学教育]]
[[Category:積分法]]
[[Category:微分積分学]]
[[category:初等数学]]
[[Category:証明を含む記事]]
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