1/6公式

1/6公式、6分の1公式（ろくぶんのいちこうしき）は、定積分に関する以下の等式である。

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{1}{6}{(\beta -\alpha )}^3$

導出

$\begin{array}{cc}\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}(x-\alpha )(x-\beta )dx& =\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\{x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta \}dx\\ & ={[\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}(\alpha +\beta )x^2+\alpha \beta x]}_{\alpha }^{\beta }\\ & =\frac{1}{3}{\beta }^3-\frac{1}{2}(\alpha +\beta ){\beta }^2+\alpha {\beta }^2-\frac{1}{3}{\alpha }^3+\frac{1}{2}(\alpha +\beta ){\alpha }^2-{\alpha }^2\beta \\ & =\frac{1}{3}{\beta }^3-\frac{1}{2}\alpha {\beta }^2-\frac{1}{2}{\beta }^3+\alpha {\beta }^2-\frac{1}{3}{\alpha }^3+\frac{1}{2}{\alpha }^3-\frac{1}{2}{\alpha }^2\beta -{\alpha }^2\beta \\ & =-\frac{1}{6}{\beta }^3+\frac{1}{2}\alpha {\beta }^2-\frac{1}{2}{\alpha }^2\beta +\frac{1}{6}{\alpha }^3\\ & =-\frac{1}{6}({\beta }^3-3{\alpha }^2\beta +3\alpha {\beta }^2-{\alpha }^3)\\ & =-\frac{1}{6}{(\beta -\alpha )}^3\end{array}$

次のように工夫して計算することもできる。

$\begin{array}{cc}\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}(x-\alpha )(x-\beta )dx& =\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}(x-\alpha )\{(x-\alpha )+(\alpha -\beta )\}dx\\ & =\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\{{(x-\alpha )}^2+(\alpha -\beta )(x-\alpha )\}dx\\ & ={[\frac{1}{3}{(x-\alpha )}^3-\frac{1}{2}(\beta -\alpha ){(x-\alpha )}^2]}_{\alpha }^{\beta }\\ & =\frac{1}{3}{(\beta -\alpha )}^3-\frac{1}{2}{(\beta -\alpha )}^3\\ & =-\frac{1}{6}{(\beta -\alpha )}^3\end{array}$

また、部分積分を用いて計算することもできる。

$\begin{array}{cc}\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}(x-\alpha )(x-\beta )dx& ={\left[\frac{1}{2}{(x-\alpha )}^2(x-\beta )\right]}_{\alpha }^{\beta }-\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{1}{2}{(x-\alpha )}^{2}dx\\ & =-{\left[\frac{1}{6}{(x-\alpha )}^3\right]}_{\alpha }^{\beta }\\ & =-\frac{1}{6}{(\beta -\alpha )}^3\end{array}$

利用

放物線と直線で囲まれた図形の面積を素早く求めることができる。

例えば、テンプレート:Mvar平面上の放物線$y=x^2+4x-5$と直線$y=2x-2$で囲まれた図形の面積を求めるためには$\underset{-3}{\overset{1}{\int }}(-x^2-2x+3)dx$の計算が必要になるが、これを$\underset{-3}{\overset{1}{\int }}-(x+3)(x-1)dx$と変形すると1/6公式により$\frac{1}{6}{(1+3)}^3=\frac{32}{3}$となり、素早く計算することができる。

また、1/6公式の応用として、

• 放物線$y=a{x}^2+bx+c$と直線の交点のテンプレート:Mvar座標を$\alpha ,\beta (\alpha <\beta )$とおくと、この放物線と直線で囲まれた部分の面積は$\frac{\left|a\right|}{6}{(\beta -\alpha )}^3$と計算できる。

• 放物線$y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1$と$y=a_2{x}^2+b_{2}x+c_2$の交点のテンプレート:Mvar座標を$\alpha ,\beta (\alpha <\beta )$とおくと、この2つの放物線で囲まれた部分の面積は$\frac{|a_1-a_2|}{6}{(\beta -\alpha )}^3$と計算できる。

1/6公式の一般化として、$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{(x-\alpha )}^m{(\beta -x)}^{n}dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}{(\beta -\alpha )}^{m+n+1}$がある。

その他

途中計算の記述が不要であるマークシート試験において、積分計算に使われることがある。

大阪大学の2022年度の文系の数学の入試問題において、1/6公式に似た等式を証明する問題が出題された。