2の冪のソースを表示

{{出典の明記|date=2024年6月}}
[[File:Ten_octaves_visualization.svg |thumb|2の冪 {{math|2<sup>''n''</sup>}} の[[直方体]]による図示。<br />左上{{math|1=1 (=2<sup>0</sup>)}} から右下 {{math|1=1024 (=2<sup>10</sup>)}} まで。]]
{{読み仮名|'''2の冪'''|にのべき|{{lang-en-short|power of two}}}}は、{{math|2}} を底とし[[整数]]の指数を持つ[[冪乗|冪]]である。2の冪は、指数を {{mvar|n}} として一般に、{{math|2<sup>''n''</sup>}} の形で表される（例えば {{math2|1=''n'' = 0, 1, 2, 3, …}} に対してそれぞれ {{math|1=2{{sup|0}} = 1}}, {{math|1=2{{sup|1}} = 2}}, {{math|1=2{{sup|2}} = 4}}, {{math|1=2{{sup|3}} = 8}}, …）。

== 概説 ==
1に2倍のみを繰り返すことによって得られる数であり、ごく基本的な数量操作で得られる数であることから、様々な場面で用いられる。

指数に[[正の数と負の数#累乗|負の整数]]を許すならば、2の冪乗（この場合、それらは自然数ではなく[[有理数]]である）の中には「半分」の概念も含まれてくる。実際、1 (2<sup>0</sup>), [[1/2]] (2<sup>−1</sup>), [[1/4]] (2<sup>−2</sup>), [[1/8]] (2<sup>−3</sup>), 1/16 (2<sup>−4</sup>) … というようなものも、2の冪乗として表すことができる有理数である。

[[トーナメント方式|トーナメント]]制の[[スポーツ]]大会で、試合の回戦が進むごとにチーム数が単純に半減していくように試合を組むとすれば、出場チーム数を2の累乗数にする必要がある。但し、実際にはシードや敗者復活などのルールを利用して試合を組むので、2の累乗数に近ければ支障が無い。

== 100乗までの2の冪（正の冪）<ref>{{Cite web |title=A000079 - OEIS |url=https://oeis.org/A000079 |website=oeis.org |access-date=2025-01-08}}</ref> ==
{{OEIS|A79}}
<div style="overflow:auto">
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- style="background:#e9e9e9;" 
|2{{sup|0}}  ||align="right"| [[1]]
|bgcolor="white" rowspan=37|
|2{{sup|32}} ||align="right"| [[4294967296|4,294,967,296]]
|bgcolor="white" rowspan=37|
|2{{sup|64}} ||align="right"| 18,446,744,073,709,551,616
|-----
|2{{sup|1}}  ||align="right"| [[2]]
|2{{sup|33}} ||align="right"| 8,589,934,592
|2{{sup|65}} ||align="right"| 36,893,488,147,419,103,232
|-----
|2{{sup|2}}  ||align="right"| [[4]]
|2{{sup|34}} ||align="right"| 17,179,869,184
|2{{sup|66}} ||align="right"| 73,786,976,294,838,206,464
|-----
|2{{sup|3}}  ||align="right"| [[8]]
|2{{sup|35}} ||align="right"| 34,359,738,368
|2{{sup|67}} ||align="right"| 147,573,952,589,676,412,928
|-----
|2{{sup|4}}  ||align="right"| [[16]]
|2{{sup|36}} ||align="right"| 68,719,476,736
|2{{sup|68}} ||align="right"| 295,147,905,179,352,825,856
|-----
|2{{sup|5}}  ||align="right"| [[32]]
|2{{sup|37}} ||align="right"| 137,438,953,472
|2{{sup|69}} ||align="right"| 590,295,810,358,705,651,712
|-----
|2{{sup|6}}  ||align="right"| [[64]]
|2{{sup|38}} ||align="right"| 274,877,906,944
|2{{sup|70}} ||align="right"| 1,180,591,620,717,411,303,424
|-----
|2{{sup|7}}  ||align="right"| [[128]]
|2{{sup|39}} ||align="right"| 549,755,813,888
|2{{sup|71}} ||align="right"| 2,361,183,241,434,822,606,848
|-----
|- style="background:#e9e9e9;" 
|2{{sup|8}}  ||align="right"| [[256]]
|2{{sup|40}} ||align="right"| 1,099,511,627,776
|2{{sup|72}} ||align="right"| 4,722,366,482,869,645,213,696
|-----
|2{{sup|9}}  ||align="right"| [[512]]
|2{{sup|41}} ||align="right"| 2,199,023,255,552
|2{{sup|73}} ||align="right"| 9,444,732,965,739,290,427,392
|-----
|2{{sup|10}} ||align="right"|[[1024|1,024]]
|2{{sup|42}} ||align="right"| 4,398,046,511,104
|2{{sup|74}} ||align="right"| 18,889,465,931,478,580,854,784
|-----
|2{{sup|11}} ||align="right"| [[2048|2,048]]
|2{{sup|43}} ||align="right"| 8,796,093,022,208
|2{{sup|75}} ||align="right"| 37,778,931,862,957,161,709,568
|-----
|2{{sup|12}} ||align="right"| [[4096|4,096]]
|2{{sup|44}} ||align="right"| 17,592,186,044,416
|2{{sup|76}} ||align="right"| 75,557,863,725,914,323,419,136
|-----
|2{{sup|13}} ||align="right"| [[8192|8,192]]
|2{{sup|45}} ||align="right"| 35,184,372,088,832
|2{{sup|77}} ||align="right"| 151,115,727,451,828,646,838,272
|-----
|2{{sup|14}} ||align="right"| [[16384|16,384]]
|2{{sup|46}} ||align="right"| 70,368,744,177,664
|2{{sup|78}} ||align="right"| 302,231,454,903,657,293,676,544
|-----
|2{{sup|15}} ||align="right"| [[32768|32,768]]
|2{{sup|47}} ||align="right"| 140,737,488,355,328
|2{{sup|79}} ||align="right"| 604,462,909,807,314,587,353,088
|-----
|- style="background:#e9e9e9;" 
|2{{sup|16}} ||align="right"| [[65536|65,536]]
|2{{sup|48}} ||align="right"| 281,474,976,710,656
|2{{sup|80}} ||align="right"| 1,208,925,819,614,629,174,706,176
|-----
|2{{sup|17}} ||align="right"| [[131072|131,072]]
|2{{sup|49}} ||align="right"| 562,949,953,421,312
|2{{sup|81}} ||align="right"| 2,417,851,639,229,258,349,412,352
|-----
|2{{sup|18}} ||align="right"| [[262144|262,144]]
|2{{sup|50}} ||align="right"| 1,125,899,906,842,624
|2{{sup|82}} ||align="right"| 4,835,703,278,458,516,698,824,704
|-----
|2{{sup|19}} ||align="right"| [[524288|524,288]]
|2{{sup|51}} ||align="right"| 2,251,799,813,685,248
|2{{sup|83}} ||align="right"| 9,671,406,556,917,033,397,649,408
|-----
|2{{sup|20}} ||align="right"| [[1048576|1,048,576]]
|2{{sup|52}} ||align="right"| 4,503,599,627,370,496
|2{{sup|84}} ||align="right"| 19,342,813,113,834,066,795,298,816
|-----
|2{{sup|21}} ||align="right"| 2,097,152
|2{{sup|53}} ||align="right"| 9,007,199,254,740,992
|2{{sup|85}} ||align="right"| 38,685,626,227,668,133,590,597,632
|-----
|2{{sup|22}} ||align="right"| 4,194,304
|2{{sup|54}} ||align="right"| 18,014,398,509,481,984
|2{{sup|86}} ||align="right"| 77,371,252,455,336,267,181,195,264
|-----
|2{{sup|23}} ||align="right"| 8,388,608
|2{{sup|55}} ||align="right"| 36,028,797,018,963,968
|2{{sup|87}} ||align="right"| 154,742,504,910,672,534,362,390,528
|-----
|- style="background:#e9e9e9;" 
|2{{sup|24}} ||align="right"| [[16777216|16,777,216]]
|2{{sup|56}} ||align="right"| 72,057,594,037,927,936
|2{{sup|88}} ||align="right"| 309,485,009,821,345,068,724,781,056
|-----
|2{{sup|25}} ||align="right"| 33,554,432
|2{{sup|57}} ||align="right"| 144,115,188,075,855,872
|2{{sup|89}} ||align="right"| 618,970,019,642,690,137,449,562,112
|-----
|2{{sup|26}} ||align="right"| 67,108,864
|2{{sup|58}} ||align="right"| 288,230,376,151,711,744
|2{{sup|90}} ||align="right"| 1,237,940,039,285,380,274,899,124,224
|-----
|2{{sup|27}} ||align="right"| 134,217,728
|2{{sup|59}} ||align="right"| 576,460,752,303,423,488
|2{{sup|91}} ||align="right"| 2,475,880,078,570,760,549,798,248,448
|-----
|2{{sup|28}} ||align="right"| 268,435,456
|2{{sup|60}} ||align="right"| 1,152,921,504,606,846,976
|2{{sup|92}} ||align="right"| 4,951,760,157,141,521,099,596,496,896
|-----
|2{{sup|29}} ||align="right"| 536,870,912
|2{{sup|61}} ||align="right"| 2,305,843,009,213,693,952
|2{{sup|93}} ||align="right"| 9,903,520,314,283,042,199,192,993,792
|-----
|2{{sup|30}} ||align="right"| 1,073,741,824
|2{{sup|62}} ||align="right"| 4,611,686,018,427,387,904
|2{{sup|94}} ||align="right"| 19,807,040,628,566,084,398,385,987,584
|-----
|2{{sup|31}} ||align="right"| 2,147,483,648
|2{{sup|63}} ||align="right"| 9,223,372,036,854,775,808
|2{{sup|95}} ||align="right"| 39,614,081,257,132,168,796,771,975,168
|-----
| colspan="5" rowspan="5" style="background:#fff" |
|2{{sup|96}} ||align="right"| 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336
|-----
|2{{sup|97}} ||align="right"| 158,456,325,028,528,675,187,087,900,672
|-----
|2{{sup|98}} ||align="right"| 316,912,650,057,057,350,374,175,801,344
|-----
|2{{sup|99}} ||align="right"| 633,825,300,114,114,700,748,351,602,688
|-----
|2{{sup|100}} ||align="right"| 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376
|}
</div>

== 大きな数の話 ==
当初の増え方から見ると、とても想像できないような大きな数を導き出すことができる点から、古くから様々な話に登場する。

例えば、「[[新聞紙]]を26回2つ折りにすると、[[富士山]]より高くなる」という話<ref>{{Cite web |title=「新聞紙を何回折りたためば、富士山の高さになるか？」 |url=https://www.imabari-meichu.ed.jp/power-of-words/%E3%80%8C%E6%96%B0%E8%81%9E%E7%B4%99%E3%82%92%E4%BD%95%E5%9B%9E%E6%8A%98%E3%82%8A%E3%81%9F%E3%81%9F%E3%82%81%E3%81%B0%E3%80%81%E5%AF%8C%E5%A3%AB%E5%B1%B1%E3%81%AE%E9%AB%98%E3%81%95%E3%81%AB%E3%81%AA/ |website=今治明徳中学校 |access-date=2025-01-08 |language=ja |last=mai0601su}}</ref>がある。計算上は 2<sup>26</sup> = 67,108,864 であるから、厚さ0.1mmの紙を26回折り曲げると約6710mとなり、富士山の標高（約3776m）を超える。当然ながら、実際には8回ほど折り曲げたところで限界となるため、紙を何度も折り曲げるのは物理的に実行不可能であるが、「新聞紙を2等分に切り、それを重ねる」を繰り返すことはある程度可能である。

別の例に、「{{仮リンク|将棋盤問題|en|Wheat and chessboard problem}}」というものがある。古代の[[インド]]のセーラムという王の家来、セッサ・イブン・ダヘルが[[チャトランガ]]（[[将棋]]や[[チェス]]の原型となったとされるゲーム）を発明した時、王はこれを喜び、望むだけの褒美を取らせる、と言った。この時の彼の希望は、「盤の最初の升目に一粒の[[コムギ|小麦]]を置き、二升目には二粒、三升目には四粒と増やしていって、最後の升目の分だけを頂きたい」というものであった。この数は、2の63乗であるが、実際の小麦として計算すると、世界の小麦生産高の2500年分を越えるという。日本においては[[曽呂利新左衛門|曽呂利新左衛門（初代）]]が[[豊臣秀吉]]から褒美を何にするか問われ、今日は米1粒、翌日には倍の2粒、その翌日には更に倍の4粒と、日ごとに倍の量の米を100日間もらう事を希望したという逸話がある。また、漫画『[[ドラえもん]]』に登場する「[[ドラえもんのひみつ道具 (はあ-はと)#バイバイン|バイバイン]]」は、物体を5分ごとに2の累乗数に増やす架空の薬品で、作中では、[[栗饅頭]]に対し使われた。このバイバインに対する考察を[[山本弘 (作家)|山本弘]]が行っており、エッセイ集『宇宙はくりまんじゅうで滅びるか?』（2007年、[[河出書房新社]]、ISBN 978-4309018294）を上梓している。

== コンピュータにおける2の冪 ==
[[コンピュータ]]の演算には[[二進法]]が使われる。<ref>{{Cite web |title=なぜコンピューターは2進数を使うのか |url=https://xtech.nikkei.com/atcl/learning/lecture/19/00007/00001/ |website=日経クロステック（xTECH） |date=2019-04-01 |access-date=2025-01-08 |language=ja |last=日経クロステック（xTECH）}}</ref>そのため、コンピュータに絡む数値に2の累乗数（ただし、[[桁]]を十進数に直す）が見られる。例えば、1 [[キビバイト]]は [[1024]] [[バイト (情報)|バイト]]（=2<sup>10</sup> バイト）であり、家庭用ゲーム機の[[NINTENDO 64]]やパソコン用CPUブランドの[[Athlon 64]]の「[[64]]」は、64 [[ビット]]（=2<sup>6</sup> ビット）に因んだ名称である。近年のパソコンやスマートフォンの普及によって、2の累乗数が家庭内にまで見かけられるようになった。

[[2進接頭辞]]も参照のこと。

== 数量的な性質 ==
[[素因数]]に2が含まれるN進法では、1を2の累乗数で割って行くと、小数には、位取り記数法の基数の半分の数が、累乗数として現れる。

例えば、[[十進法]]の位取り（十進数）では、1 を2の累乗数で割っていくと、小数には[[5の冪|5の累乗数]]が現れる。｛1 ÷ 2 = 0.5 (5{{sup|1}}) 、1 ÷ 4 = 0.25 (5{{sup|2}}) 、1 ÷ 8 = 0.125 (5{{sup|3}})、1 ÷ 16 = 0.0625 (5{{sup|4}})｝これらは

:<math> 2^{-n} \times 5^{-n} = 10^{-n} </math>
より
:<math> 2^{-n} = 5^n \times 10^{-n} </math>
であることから導かれる。

1以外の2の冪を十進法で表すと、一の位は 2, 4, 6, 8 のいずれかである。また、1以外の2の冪 2''n'' を二進法で表したとき、一番上の位は 1 であとに 0 が n 個続く数になる。

同じく、[[六進法]]の位取り（六進数）では、1 を2の累乗数で割っていくと、小数には[[3の冪|3の累乗数]]が現れる。｛1 ÷ 2 = 0.3 (3{{sup|1}}) 、1 ÷ 4 = 0.13 (3{{sup|2}}) 、1 ÷ 12 = 0.043 (3{{sup|3}})、1 ÷ 24 = 0.0213 (3{{sup|4}})｝

十進数や六進数は冪指数が一対一の関係なので、「2{{sup|-n}}」の指数と「小数に現れる奇数」の指数は同じである。一方、[[十二進法|十二進数]]では6の累乗数（0を除いて有限とする場合、指数が偶数の時は最後が奇数）が、[[十八進法|十八進数]]では9の累乗数（即ち3{{sup|2n}}の数）が、[[二十進法|二十進数]]では十の累乗数（0を除いて有限とする場合、指数が偶数の時は最後が奇数）が現れる。

;十二進数の例
* 1 ÷ 2 = 0.6 (6{{sup|1}})
* 1 ÷ 4 = 0.30 (6{{sup|2}})
* 1 ÷ 8 = 0.160 (6{{sup|3}})
* 1 ÷ 14  = 0.0900 (6{{sup|4}})

== 常用対数との関係 ==
{{main|対数|常用対数|位取り記数法}}
ある数 {{mvar|x}} の[[十進法]]における[[整数]]部の桁数は、{{mvar|x}} を真数とする[[常用対数]] {{math|log{{sub|10}} ''x''}} の小数部を[[端数処理|切り上げ]]た値から得られる。特に2の冪の場合、{{math|1=log ''x''{{sup|''y''}} = ''y''&sdot;log ''x''}} より {{math|1=log{{sub|10}} 2}} を計算することで得られる。具体的には、2の冪 {{math|2{{sup|''n''}}}} の十進表示での桁数 {{mvar|m}} は以下より求まる：
: <math display="block">
  \begin{align}
  m &= \left\lceil \log_{10} 2^n \right\rceil \\
    &= \left\lceil n\log_{10} 2 \right\rceil \\
    &= \left\lceil n \cdot 0.3010299956\dots \right\rceil \,.
  \end{align}
</math>
最後の {{math|1=log{{sub|10}} 2}} の[[近似]]計算で必要となる精度は冪指数 {{mvar|n}} に依存する。例えば {{math|''n'' &lt; 10}} までなら {{math|1=log{{sub|10}} 2 &simeq; 0.3}} は正しい結果を与えるが、{{math|1=''n'' = 10}} に対して {{math|1=''m'' = 3}} と誤った結果を与える（{{math|1=2{{sup|10}} = 1024}} であり正しい結果は {{math|1=''m'' = 4}}）。 

また、正の実数 {{mvar|x}} を {{math|1 &le; ''y'' &lt; 2}} を用い {{math|1=''x'' = 2{{sup|''n''}}''y''}} と置き換え、{{math|log ''y''}} を近似することで、対数 {{math|log ''x''}} の近似値が求められる：
: <math display="block">
  \begin{align}
  \log x &= \log(2^n y) \\
    &= \log (2^n) + \log y \\
    &= n\log 2 + \log y\,.
  \end{align}
</math>

== 指数が2の冪となる2の冪 ==
{{OEIS|id=A001146}}
:<math>2^{2^0} = 2^1</math> = [[2]]
:<math>2^{2^1} = 2^2</math> = [[4]]
:<math>2^{2^2} = 2^4</math> = [[16]]
:<math>2^{2^3} = 2^8</math> = [[256]]
:<math>2^{2^4} = 2^{16}</math> = [[65536|65,536]]
:<math>2^{2^5} = 2^{32}</math> = [[4294967296|4,294,967,296]]
:<math>2^{2^6} = 2^{64}</math> = 18,446,744,073,709,551,616 (20桁)
:<math>2^{2^7} = 2^{128}</math> = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456 (39桁)
:<math>2^{2^8} = 2^{256}</math> = 
:: 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936 (78桁)
:<math>2^{2^9} = 2^{512}</math> = 
:: 13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,
:: 127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,030,073,546,976,801,874,298,166,
:: 903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,649,006,084,096 (155桁)
:<math>2^{2^{10}} = 2^{1,024}</math> = 
:: 179,769,313,
:: 486,231,590,772,930,519,078,902,473,361,797,697,894,230,657,273,430,081,157,732,
:: 675,805,500,963,132,708,477,322,407,536,021,120,113,879,871,393,357,658,789,768,
:: 814,416,622,492,847,430,639,474,124,377,767,893,424,865,485,276,302,219,601,246,
:: 094,119,453,082,952,085,005,768,838,150,682,342,462,881,473,913,110,540,827,237,
:: 163,350,510,684,586,298,239,947,245,938,479,716,304,835,356,329,624,224,137,216 (309桁)
:<math>2^{2^{11}} = 2^{2,048} =</math> 32,317,006,071,311,007,300,714,876,…,193,555,853,611,059,596,230,656 (617桁)
:<math>2^{2^{12}} = 2^{4,096} =</math> 1,044,388,881,413,152,506,691,752,…,243,804,708,340,403,154,190,336 (1,234桁)
:<math>2^{2^{13}} = 2^{8,192} =</math> 1,090,748,135,619,415,929,462,984,…,997,186,505,665,475,715,792,896 (2,467桁)
:<math>2^{2^{14}} = 2^{16,384} =</math> 1,189,731,495,357,231,765,085,759,…,460,447,027,290,669,964,066,816 (4,933桁)
:<math>2^{2^{15}} = 2^{32,768} =</math> 1,415,461,031,044,954,789,001,553,…,541,122,668,104,633,712,377,856 (9,865桁)
:<math>2^{2^{16}} = 2^{65,536} =</math> 2,003,529,930,406,846,464,979,072,…,339,445,587,895,905,719,156,736 (19,729桁)

これらの数字のいくつかは[[コンピュータ]]における使用可能な値の数となっている。たとえば4バイトからなる[[32ビット]]ワードは、2{{sup|32}}の値を表すことができる。ただし符号なし32ビットの場合は0から2{{sup|32}}－1まで、[[符号付数値表現|符号付き]]32ビットの場合は－2{{sup|31}}から2{{sup|31}}−1までが表すことができる範囲である。符号付き数値の表し方は[[2の補数]]を使う。

これらの数より1つ大きい数を[[フェルマー数]]と言う。

=== 参考 ===
:<math>2^{2^{20}} = 2^{1,048,576} =</math> 67,411,401,254,990,734,022,690,651,…,009,289,119,068,940,335,579,136 (315,653桁)
:<math>2^{2^{24}} = 2^{16,777,216} =</math> 181,858,529,856,973,800,789,277,…,884,097,536 or <math>\exp_{10}^2(6.70333)</math> (5,050,446桁)

;2の2の2の冪乗乗乗
:<math>2^{2^{2^1}} = 2^{4} =</math> 上記参照
:<math>2^{2^{2^2}} = 2^{16} =</math> 上記参照
:<math>2^{2^{2^3}} = 2^{256} =</math> 上記参照
:<math>2^{2^{2^4}} = 2^{2^{16}} =  2^{65,536} =</math> 上記参照
:<math>2^{2^{2^5}} = 2^{2^{32}} = 2^{4,294,967,296} =</math> 310,328,054,386,328,614,029,989,…,691,982,336 or <math>\exp_{10}^2(9.11157)</math> (1,292,913,987桁)
:<math>2^{2^{2^6}} = 2^{2^{64}} = \exp_{10}^2(18.74453)</math> or <math>\exp_{10}^3(1.2287454)</math> (5.55302 &times; 10<sup>18</sup>桁)
<br>
上の指数関数の反復は、一般に次のように定義される。
:<math>\exp_a^n(x) = a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}</math> （{{mvar|n}} 個の {{mvar|a}} の上に {{mvar|x}} が乗っている）

== テトレーション・ペンテーションで表される2の冪 ==
[[冪乗#指数法則|指数法則]]より
: <math>2^n\uparrow\uparrow2 = (2^n)^{2^n} = 2^{n\times2^n}</math>
が成り立つ（矢印は[[クヌースの矢印表記]]）。これらの指数は{{OEIS|A036289}}に表記される数になる。

:<math>2\uparrow\uparrow2 = 2^2</math> = 4
:<math>4\uparrow\uparrow2 = 2^2\uparrow\uparrow2 = 2^{2\times2^{2}}</math> = 
::<math>2^8</math> = 256
:<math>8\uparrow\uparrow2 = 2^3\uparrow\uparrow2 = 2^{3\times2^{3}}</math> = 
::<math>2^{24}</math> = 16,777,216
:<math>16\uparrow\uparrow2 = 2^4\uparrow\uparrow2 = 2^{4\times2^{4}}</math> = 
::<math>2^{64}</math> = 18,446,744,073,709,551,616
:<math>32\uparrow\uparrow2 = 2^5\uparrow\uparrow2 = 2^{5\times2^{5}}</math> = 
::<math>2^{160}</math> = 1,461,501,637,330,902,918,203,684,832,716,283,019,655,932,542,976 (49桁)
:<math>64\uparrow\uparrow2 = 2^6\uparrow\uparrow2 = 2^{6\times2^{6}}</math> = 
::<math>2^{384}</math> = 39,402,006,196,394,479,212,279,040,…,884,915,640,806,627,990,306,816 (116桁)
:<math>128\uparrow\uparrow2 = 2^7\uparrow\uparrow2 = 2^{7\times2^{7}}</math> = 
::<math>2^{896}</math> = 528,294,531,135,665,246,352,339,…,476,489,538,580,897,737,998,336 (270桁)
:<math>256\uparrow\uparrow2 = 2^8\uparrow\uparrow2 = 2^{8\times2^{8}}</math> = 
::<math>2^{2048}</math> = 32,317,006,071,311,007,300,714,876,…,193,555,853,611,059,596,230,656 (617桁)

;2を底とするテトレーション・ペンテーション
:<math>2\uparrow\uparrow1 = 2^1</math> = 2
:<math>2\uparrow\uparrow2 = 2^2</math> = 4
:<math>2\uparrow\uparrow3 = 2^4</math> = 16
:<math>2\uparrow\uparrow4 = 2^{16}</math> = 65,536
:<math>2\uparrow\uparrow5 = 2^{65536}</math> = 2,003,529,930,406,846,464,979,072,…,339,445,587,895,905,719,156,736 (19,729桁)
:<math>2\uparrow\uparrow\uparrow2</math> = 4
:<math>2\uparrow\uparrow\uparrow3 = 2\uparrow\uparrow2\uparrow\uparrow2 = 2\uparrow\uparrow4</math> = 65,536

;その他
:<math>2^2\uparrow\uparrow3 = 4\uparrow\uparrow3 = 4^{256} = </math>
::<math>2^{512}</math> = 13,407,807,929,942,597,099,574,024,…,946,569,946,433,649,006,084,096 (155桁)

== 特殊な2の冪 ==
;2{{sup|4}} = 16
:2桁最小の2の累乗数である。2の100乗までは指数の1の位が0、4、7のときに桁があがる。
:[[西洋の命数法]]では指数が10の倍数のときに接頭辞（thousand→million→billion）があがる。

;2{{sup|8}} = 256
:[[8ビット]]で表せる整数の数で、8ビットを1オクテットとも呼ぶ。1[[バイト (情報)|バイト]]は8ビットである。

;2{{sup|10}} = 1,024
:1000に最も近い2の累乗数である。
:[[コンピュータ]]で用いられる単位[[ビット]]と[[バイト (情報)|バイト]]では、キロ(K)やメガ(M)といった[[接頭辞]]が1024ごとに上がる。例えば1[[キロバイト]]は1024バイトである。コンピュータにとっては特別な意味はないが、[[十進数]]を利用する人間には重要な数字である。曖昧さを排するため[[キビバイト|キビ（Ki）]]、[[メビバイト|メビ（Mi）]]などを使うこともある。

;2{{sup|14}} = 16,384
:1万以上の最小の2の累乗数である。漢字圏の命数法では40の倍数と40n＋14、27で接頭辞（[[万]]→[[億]]→[[兆]]）があがる。

;2{{sup|15}} = 32,768
:符号付き[[16ビット]]で表せる非負整数の数である。

;2{{sup|16}} = 65,536
:[[16ビット]]で表せる整数の数である。[[Intel 8086]]などが16ビットである。
:<sup>4</sup>2、2↑↑4（矢印は[[クヌースの矢印表記]]）の[[テトレーション]]数である。

;2{{sup|20}} = 1,048,576
:1000000に最も近い2の累乗数である。コンピュータにおける1[[メガバイト]]は1048576バイトである。

;2{{sup|24}} = 16,777,216
:[[カラーコード]]で表せる色の総数である。コンピュータのモニターで使用される色の総数でもある。[[RGB]]の各3色に8ビットずつ、合計24ビットで表される。

;2{{sup|29}} = 536,870,912
:各桁すべて異なる数字で表される最大の2の累乗数である。

;2{{sup|31}} = 2,147,483,648
:符号付き[[32ビット]]で表せる非負整数の数である。
:[[UNIX時間]]を使用している[[32ビット]]コンピュータは、1970年1月1日0時0分0秒からの秒数が2,147,483,647秒に達する2038年1月19日3時14分7秒（日本標準時では2038年1月19日12時14分7秒）を過ぎると、この値が[[算術オーバーフロー|オーバーフロー]]し誤作動を引き起こす恐れがあり、これを[[2038年問題]]と呼ぶ。

;2{{sup|32}} = 4,294,967,296
:[[32ビット]]で表せる整数の数である。[[Java]]や[[C言語]]で表せる変数の数でもある。
:[[IPv4アドレス]]の総数である。約43億という数は一見すると大きな数だが、現在のインターネットの規模に対しては十分に大きいとは言えないため、[[IPアドレス枯渇問題]]が起こっている。このため現在では[[IPv6]]が開発されており、そのアドレス数は後述するように2{{sup|128}}となっている。

;2{{sup|40}} = 1,099,511,627,776
:1[[テラバイト]]は2{{sup|40}}バイトである。
:10の12乗に最も近い2の累乗数で、千進の英語圏と万進の漢字圏の両方で接頭辞があがる最初の2の累乗数である。これは指数が40の倍数のときに該当する。漢字圏では[[兆]]、英語圏short scaleではtrillion、long scaleではbillionになる。

;2{{sup|56}} = 72,057,594,037,927,936
:旧型56ビットの[[Data Encryption Standard|DES]]の[[鍵空間 (暗号理論)|鍵空間]]の総数である。

;2{{sup|63}} = 9,223,372,036,854,775,808
:符号付き[[64ビット]]で表せる非負整数の数である。

;2{{sup|64}} = 18,446,744,073,709,551,616
:[[64ビット]]で表せる整数の数である。

;2{{sup|68}} = 295,147,905,179,352,825,856
:[[十進法]]における[[パンデジタル数]](すなわち、0～9のすべての数字が含まれる数)である最小の2の累乗数である。

;2{{sup|80}} = 1,208,925,819,614,629,174,706,176
:コンピュータの情報量を表す最大の単位、1[[ヨタバイト]]は2{{sup|80}}である。
:千進の英語圏と万進の漢字圏の両方で接頭辞があがる2番目の2の累乗数である。漢字圏では[[じょ|𥝱（秭）]]、英語圏short scaleではSeptillion、long scaleではQuadrillionになる。

;2{{sup|86}} = 77,371,252,455,336,267,181,195,264
:0が含まれていない最大の2の累乗数であると推測されている数である。

;2{{sup|96}} = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336
:[[ローカルインターネットレジストリ]]に割り当てられる[[IPv6アドレス]]の総数である。[[Classless Inter-Domain Routing|CIDR]]ではISPに128ビットのうち32ビットが与えられる。そのためIPアドレスに使用できるのは残りの96ビットである。

;2{{sup|103}} = 10,141,204,801,825,835,211,973,625,643,008
:指数の1の位が0、4、7以外で桁が上がる最小の2の累乗数である。

;2{{sup|128}} = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456
:[[IPv6アドレス]]の総数である。非常に巨大な数であるため、アドレス枯渇の心配がほぼ解消される。

;2{{sup|168}} = 374,144,419,156,711,147,060,143,317,175,368,453,031,918,731,001,856
:現在発見されている2の累乗数で、すべての数字が含まれていない最大の数である。この数は2だけが含まれていない。

;2{{sup|192}} = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896
:192ビットの[[Advanced Encryption Standard|AES]]の[[鍵空間 (暗号理論)|鍵空間]]の総数である。

;2{{sup|256}} = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936
:256ビットの[[Advanced Encryption Standard|AES]]の[[鍵空間 (暗号理論)|鍵空間]]の総数である。

;2{{sup|1,024}} = 179,769,313,486,231,590,772,931,…,304,835,356,329,624,224,137,216（309桁）
:[[倍精度浮動小数点数]]に適合する最大数。従って多くのプログラム（[[Microsoft Excel]]など）で表せる数の総数である。
:ただし[[符号付数値表現]]なので実際に表せる範囲は-2{{sup|1023}}+1～2{{sup|1023}}となっており、表せる最大数は2{{sup|1023}}（8.988×10{{sup|307}}）である。

;2{{sup|65,536}} = 2,003,529,930,406,846,464,979,072,…,339,445,587,895,905,719,156,736 (19,729桁)
:<sup>5</sup>2、2↑↑5（矢印は[[クヌースの矢印表記]]）であり、ネット上の電卓ですべての数値を計算できる最大の[[テトレーション]]数である。

;2{{sup|82,589,933}} = 148,894,445,742,041,…,210,325,217,902,592（24,862,048桁）
:この数より1少ない数が2018年12月の時点で発見されている最大の素数である。この素数は24,862,048桁の長さを持つ。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}
=== 出典 ===
{{Reflist|2}}

== 関連項目 ==
{{commonscat}}
* [[冪乗]]
* [[3の冪]]
* [[5の累乗数]]
* [[10の冪]]
* [[平方数]]
* [[立方数]]
* [[二重平方数]]
* [[等比数列]]
* [[等差数列]]
* [[二進法]]
* [[二進対数]]
* [[ドラえもんのひみつ道具 (はあ-はと)#バイバイン|バイバイン]] - [[ドラえもん]]に登場する道具
* [[2048 (ゲーム)]] 
* [[音符]] - 音符の長さ（[[音価 (音楽)|音価]]）は2の冪の体系となっているため、基本的な音符の種類として「○分音符」の○には2の冪乗数しか入らない。
{{2^n}}{{Classes of natural numbers|state=collapsed}}{{巨大数}}
{{DEFAULTSORT:にのへきしよう}}
[[Category:算術]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事|/2にのへきしよう]]
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[[Category:2 (数字)]]