2の立方根のソースを表示

'''2 の立方根'''（にのりっぽうこん）は、[[冪乗|立方]]（3乗）して {{math|[[2]]}} になる数である。すなわち、
:<math>r^3 = r \times r \times r = 2</math>
を満たす数 {{mvar|r}} のことである。
2 の立方根に関する[[定規とコンパスによる作図|作図問題]]としては、[[立方体倍積問題]]が古代から知られている。

==概要==
2 の立方根は[[複素数]]の範囲に 3 つあり、そのうち 1 つは[[実数]]である。実数の立方根を
:<math>\sqrt[3]{2}</math>
と書き、虚数の立方根は
:<math>\frac{-1+\sqrt{3}\,i}{2} \sqrt[3]{2}</math> , <math>\frac{-1-\sqrt{3}\,i}{2} \sqrt[3]{2}</math>
と書き表すことができる。

<math>\sqrt[3]{2}</math> が[[無理数]]であることは、[[2の平方根]]の場合と同様、[[有理根定理]]、[[背理法]]（[[無限降下法]]）、または[[素因数分解の一意性]]を利用して証明することができる。<br>
[[オンライン整数列大辞典]]では <math>\sqrt[3]{2}</math> の[[十進記数法]]における小数点以下 107 桁まで表示されている<ref>{{OEIS|id=A002580}} 2018年2月11日閲覧</ref>。
: <math>\sqrt[3]{2}=</math> 1.2599210498 9487316476 7210607278 2283505702 5146470150 …
この数の並びには[[無限]]回の循環はない。このことは、<math>\sqrt[3]{2}</math> が[[無理数]]であることによる<ref group="注釈">逆に、[[循環小数]]として表現できるような数は全て[[有理数]]である（無理数ではない）。有理数とは、整数の比によって表すことのできる数のことを言う。</ref>。

== 性質 ==
*<math>\sqrt[3]{2}</math> は[[代数方程式]] {{math|''r''&thinsp;{{sup|3}} &minus; 2 {{=}} 0}} の根の 1 つであるから、[[代数的数]]である。
*<math>\sqrt[3]{2}</math> は[[定規とコンパスによる作図]]で示すことが不可能な数である。この事実は、1837年に、[[ピエール・ヴァンツェル]]により証明された。
*<math>\sqrt[3]{2}</math> の[[連分数|連分数展開]]は
:<math>\sqrt[3]{2}=1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{\ddots}}}}}}}</math>
となる。これはしばしば {{math|[1; 3, 1, 5, 1, 1, 4,...]}} と表記される。連分数展開を途中で打ち切ることで、<math>\sqrt[3]{2}</math> の近似値を計算することができる。

== 脚注 ==
=== 出典 ===
<references/>
=== 注釈 ===
<references group="注釈"/>
== 関連項目 ==
*[[冪根]]
*[[立方根]]
*[[立方体倍積問題]]
*[[2の平方根]]

{{Algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:2のりつほうこん}}
[[Category:2 (数字)]]
[[Category:代数的数]]
[[Category:無理数]]
[[Category:数学に関する記事]]