2の自然対数のソースを表示

'''2の自然対数'''（にのしぜんたいすう）は、[[自然対数|自然対数関数]] {{math|1=log ''x''}} の {{math|1=''x'' = 2}} での値であり、{{math|1=log 2}} と表記する。2の[[常用対数]]との混同を避けるため {{math|ln 2}} あるいは[[冪乗|底]]を明記して {{math|log{{sub|''e''}} 2}} とも書かれる。{{math|log 2}} は正の[[実数]]であり、その値は
:{{math|1=log 2 = 0.69314 71805 59945 30941 72321…}}
である。この数は[[無理数]]であるので数字の循環しない[[無限小数]]である。さらに[[超越数]]であるため、[[代数方程式]]の解にはならない。[[連分数]]表記では
:{{math|1=log 2 = [0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 10, …]}}
となる。また、この数は、[[核反応]]や[[化学反応]]において[[物質]][[濃度]]の[[半減期]]を求める際に現れる数である。

== 定義 ==
[[Image:Alternating_Harmonic_Series.PNG|right|thumb|280px|{{math|1 &minus; 1/2 + 1/3 &minus; 1/4 + ...}} という級数の部分和（黒線）が {{math|log 2}}（赤線）に収束する様子]]
[[ネイピア数]] {{mvar|e}} を底とした[[実数]] {{mvar|x}} を[[変数 (数学)|変数]]とする対数関数 {{math|log ''x''}} が {{math|1=''x'' = 2}} のときにとる値が {{math|log 2}} である。対数関数は[[指数関数]]の[[逆関数]]であるので、
:{{math|1=''e''<sup>''z''</sup> = 2}}
を満たすただ一つの実数の {{mvar|z}} が {{math|1=log 2}} である。

対数関数の[[テイラー展開]]は
:<math> \log (1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{ (-1)^{n+1}}{n} x^n \quad (|x|<1) </math>
である。これに形式的に {{math|1=''x'' = 1}} を代入すると
:<math>\log 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{ (-1)^{n+1}}{n} = 1- \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots </math>
となるが、この[[級数]]は実際に {{math|log 2}} に[[収束級数|収束]]することが知られている（→[[交項級数]]、[[アーベルの連続性定理]]）。

== 数学的性質 ==
[[ディリクレ]]の{{仮リンク|ディリクレのイータ関数|label=イータ関数|en|Dirichlet eta function}}は
:<math>\eta (s) = \sum_{n=1}^\infty \frac { (-1)^{n+1} }{n^s}</math> 
と定義されるので、上記のテイラー展開から、
:{{math|1=''&eta;''(1) = log 2}}
である。また、{{math|log 2}} は以下のような級数でも求められる。
*<math> \log2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \cdot 2^n}</math>
*<math> \log 2 = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left( \frac {1}{3n+1} - \frac {1}{3n+2} + \frac {1}{3n+3} \right)</math>
*<math> \log 2 = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(-4)^n} \left( \frac{2}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} - \frac{1}{4n+4} \right)</math>
*<math> \log 2 = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(-27)^n} \left( \frac{3}{6n+1} - \frac{2}{6n+3} - \frac{1}{6n+4} \right)</math>

さらに、
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{ (-1)^{n+1}}{n}</math>
の第 {{mvar|N}} 項までの部分和と {{math|log 2}} との差は
:<math>\sum_{n=1}^N \frac{ (-1)^{n+1}}{n} - \log 2 = (-1)^N \left( \frac{1}{2N} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n T_n} {4^N N^{2n}} \right)</math>
と表される。ここで、{{mvar|T<sub>n</sub>}} は {{mvar|n}} 番目の[[タンジェント数]]である。

[[積分]]では
:<math>\int_1^2 \frac{dx}{x} = \log 2</math>
であるから、[[双曲線]] {{math|1=''y'' = 1/''x''}} と[[直線]] {{math|1=''x'' = 1, ''x'' = 2}} および {{math|1=''y'' = 0}} （{{mvar|x}} 軸）とに囲まれた[[図形]]の[[面積]]は {{math|1=log 2}} である。

[[リンデマンの定理]]より {{math|1=log 2}} は[[超越数]]であり、したがって[[無理数]]である。

{{math|log 2}} が[[正規数]]かどうかは分かっていない。

== その他の性質 ==
=== 反応速度 ===
[[原子核反応]]や化学反応の[[速度]]は、反応物質の濃度に[[比例]]する場合が多い。この法則をもとに濃度の半減期を求めると、以下のように {{math|log 2}} が現れる。

まず濃度を {{mvar|C}}, [[反応速度定数]]を {{mvar|k}} とおくと、{{mvar|C}} を[[時間]] {{mvar|t}} で[[微分]]したものがこの場合の速度なので、
:{{math|1=&minus;d''C''/d''t'' = ''kC''}}
となる。濃度は[[単調減少]]するので、速度の[[符号]]は負であることに注意。ここで、
* [[初期条件]]として、{{math|1=''t'' = 0}} において {{math|1=''C'' = ''C''<sub>0</sub>}}
* [[境界条件]]として、{{math|1=''t'' = ''&tau;''}}（= 半減期）において {{math|1=''C'' = ''C''<sub>0</sub>/2}}
を与えて[[定積分]]すると、
:<math>\int_{C_0}^{C_0/2} \frac{dC}{C} = \int_{0}^{\tau} -kdt</math>
:<math>\log {\frac {C_0/2}{C_0}} = -k \tau </math>
となり、
:{{math|1=log 2 = ''k&tau;''}}
となる。すなわち、上記の微分方程式で表されるあらゆる反応において、{{math|1=log 2}} は反応速度定数と半減期の[[積]]になっている。

=== 72の法則 ===
[[複利]]計算における「倍増年」（元利合計が2倍になる年数）の近似計算にも {{math|log 2}} が現れる。

[[元金]]を {{math|''X'' (&gt; 0)}}、年[[利率]]を {{math|''r'' (&gt; 0)}} とし、{{mvar|n}} 年後に元利合計が2倍になるとすれば、
:{{math|1=''X'' (1 + ''r'')<sup>''n''</sup> = 2''X''}}
となる。この両辺の[[自然対数]]をとると
:{{math|1=''n'' log(1 + ''r'') = log 2}}
:{{math|1=''n'' = log 2/log(1 + ''r'')}}
ここで、{{math|''r'' ≪ 1}}、すなわち {{mvar|r}} が {{math|1}} に比べて十分に小さい場合には、{{math|1=log(1 + ''r'') ≒ ''r''}} と[[近似]]できるので、
:{{math|''n'' ≒ (log 2)/''r'' ≒ 0.693/''r''}}
となる。

すなわち「倍増年」は、「0.693を年利で割った値」又は「69.3を年利（%表示）で割った値」で近似できる。実用上は、69.3を切りの良い70や[[約数]]の多い72で置き換えることが多い。たとえば、年利が3%ならば、72÷3 = 24 なので、約24年後に元利合計が倍増する。この法則は、[[72の法則]]と呼ばれ、15世紀のイタリアで知られていた。

== 関連項目 ==
* [[自然対数]]
* [[二進対数]]
* [[超越数]]
* [[半減期]]
* [[72の法則]]

== 外部リンク ==
* [http://mathworld.wolfram.com/NaturalLogarithmof2.html Natural Logarithm of 2] [[MathWorld]]
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=ln2 ln2] [[Wolfram Alpha]]

{{DEFAULTSORT:2のしせんたいすう}}
[[Category:数学定数]]
[[Category:対数]]
[[Category:数学に関する記事]]