2の12乗根のソースを表示

{{more footnotes|date=June 2011}}
'''2の12乗根'''（2の12じょうこん）<math>\sqrt[12]{2}</math> は、[[代数的数|代数的]][[無理数]]である。[[音楽理論]]において非常に重要であり、[[平均律#十二平均律|十二平均律]]における[[半音]]の[[周波数]]比を表す。歴史的にこの数は[[シモン・ステヴィン]]によって1580年（草稿、1610年に書き直し）に調律との関連で初めて提唱された<ref>{{Cite book |editor=Thomas Christensen |title=The Cambridge history of Western music theory |year=2002 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0521686983 |pages=205}}</ref>。

==数値==
有効数字20桁の2の12乗根は{{val|1.0594630943592952646}}<ref>{{OEIS|A010774}}</ref><ref>[http://www.wolframalpha.com/input/?i=N%5B2%5E(1%2F12),20%5D][[Wolfram Alpha]]による。</ref><ref>[http://sagecell.sagemath.org/?z=eJzz0zCK0zDUNzTS1EnJTM8sKbY1MtAEADooBZM=&lang=sage][[Sage (数式処理システム)|Sage]]による（via [[Sage (数式処理システム)|SageMathCell]]）。</ref>である。[[正則連分数]]展開<ref>{{OEIS|A103922}}</ref>による[[ディオファントス近似]]は1, {{frac|17|16}}, {{frac|18|17}}, {{frac|89|84}}, {{frac|196|185}}, {{frac|1461|1379}}, {{frac|1657|1564}}, {{frac|3118|2943}}, {{frac|7893|7450}}, {{frac|18904|17843}} ...
<ref>[http://www.wolframalpha.com/input/?i=Convergents%5B2%5E(1%2F12),10%5D][[Wolfram Alpha]]による。</ref><ref>[http://sagecell.sagemath.org/?z=eJxLzs8rSy1KT80rKdZIzs8rycwrTU2JTytKTC7JzM-Lz8ksLtEwitMw1Dc00tTJK0ktyi22NTTQ1AQAbB8T8Q==&lang=sage][[Sage (数式処理システム)|Sage]]による（via [[Sage (数式処理システム)|SageMathCell]]）。</ref>である。

==平均律の半音階==
[[音程]]は周波数の比であるため、[[平均律]]の半音階は[[オクターブ]]（2:1の周波数比）を[[12]]等分する。

この値を[[中央ハ|中央'''ハ'''（C）]]の上の'''イ'''（A）音（[[A440|440 Hz]]の周波数を持ち、[[A440|A<sub>4</sub>]]と呼ばれる）から始まる半音階の音に連続的に適用することで、以下の[[音高]]列が得られる。
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
! 音
! 周波数<br /> (Hz)
! 乗数
! 係数<br />（8桁まで）
! 近似比
|-
| A     || {{val|440.000000}} || 2{{sup|{{frac|0|12}}}} || {{val|1.00000000}}
|1
|-
| A{{music|#}}/B{{music|b}} || {{val|{{#expr: 440 * 2^(1/12) round 6}}}} || 2{{sup|{{frac|1|12}}}} || {{val|{{#expr: 2^(1/12) round 8}}}}
|≈ {{frac|16|15}} <!-- +1.2% -->
|-
| B     || {{val|{{#expr: 440 * 2^(2/12) round 6}}}} || 2{{sup|{{frac|2|12}}}} || {{val|{{#expr: 2^(2/12) round 8}}}}
|≈ {{frac|9|8}} <!-- +0.3% -->
|-
| C     || {{val|{{#expr: 440 * 2^(3/12) round 6}}}} || 2{{sup|{{frac|3|12}}}} || {{val|{{#expr: 2^(3/12) round 8}}}}
|≈ {{frac|6|5}} <!-- +1.1% -->
|-
| C{{music|#}}/D{{music|b}} || {{val|{{#expr: 440 * 2^(4/12) round 6}}}} || 2{{sup|{{frac|4|12}}}} || {{val|{{#expr: 2^(4/12) round 8}}}}
|≈ {{frac|5|4}} <!-- -1.0% -->
|-
| D     || {{val|{{#expr: 440 * 2^(5/12) round 6}}}} || 2{{sup|{{frac|5|12}}}} || {{val|{{#expr: 2^(5/12) round 8}}}}
|≈ {{frac|4|3}} <!-- -0.2% -->
|-
| D{{music|#}}/E{{music|b}} || {{val|{{#expr: 440 * 2^(6/12) round 6}}}} || 2{{sup|{{frac|6|12}}}} || {{val|{{#expr: 2^(6/12) round 8}}}}
|≈ {{frac|7|5}} <!-- -1.4% -->
|-
| E     || {{val|{{#expr: 440 * 2^(7/12) round 6}}}} || 2{{sup|{{frac|7|12}}}} || {{val|{{#expr: 2^(7/12) round 8}}}}
|≈ {{frac|3|2}} <!-- +0.2% -->
|-
| F     || {{val|{{#expr: 440 * 2^(8/12) round 6}}}} || 2{{sup|{{frac|8|12}}}} || {{val|{{#expr: 2^(8/12) round 8}}}}
|≈ {{frac|8|5}} <!-- +1.3% -->
|-
| F{{music|#}}/G{{music|b}} || {{val|{{#expr: 440 * 2^(9/12) round 6}}}} || 2{{sup|{{frac|9|12}}}} || {{val|{{#expr: 2^(9/12) round 8}}}}
|≈ {{frac|5|3}} <!-- +1.5% -->
|-
| G     || {{val|{{#expr: 440 * 2^(10/12) round 6}}}} || 2{{sup|{{frac|10|12}}}} || {{val|{{#expr: 2^(10/12) round 8}}}}
|≈ {{frac|9|5}} <!-- +1.8% -->
|-
| G{{music|#}}/A{{music|b}} || {{val|{{#expr: 440 * 2^(11/12) round 6}}}} || 2{{sup|{{frac|11|12}}}} || {{val|{{#expr: 2^(11/12) round 8}}}}
|≈ {{frac|15|8}} <!-- -1.3% -->
|-
| A     || {{val|880.000000}} || 2{{sup|{{frac|12|12}}}} || {{val|2.00000000}}
|2
|}
最後の'''A'''（A<sub>5</sub>: 880&nbsp;Hz）は低い方の'''A'''（A<sub>4</sub>: 440&nbsp;Hz）の厳密に2倍の周波数を持つ。つまり1オクターブ高い。

==歴史==
1636年にフランスの数学者[[マラン・メルセンヌ]]によって計算された。

==出典==
{{Reflist}}

==推薦文献==
* {{cite journal |last=Barbour |first=J. M. |title=A Sixteenth Century Approximation for π |journal=American Mathematical Monthly |volume=40 |issue=2 |year=1933 |pages=69–73 |jstor=2300937 | doi = 10.2307/2300937}}
* {{cite book |last=Ellis |first=Alexander |first2=Hermann |last2=Helmholtz |title=On the Sensations of Tone |location= |publisher=Dover Publications |year=1954 |isbn=0-486-60753-4 }}
* {{cite book |last=Partch |first=Harry |title=Genesis of a Music |location= |publisher=Da Capo Press |year=1974 |isbn=0-306-80106-X }}

==関連項目==
* [[純正律]]
* [[音楽と数学]]
* {{仮リンク|科学的ピッチ表記法|en|Scientific pitch notation}}
* [[平均律クラヴィーア曲集]]
* [[調律]]
* [[冪根]]

{{代数的数}}

{{DEFAULTSORT:2にの12しようこん}}
[[Category:数学定数]]
[[Category:代数的数]]
[[Category:無理数]]
[[Category:調律]]
[[Category:数学に関する記事]]