5の累乗数のソースを表示

{{特筆性|date=2021年10月25日 (月) 09:04 (UTC)}}

'''5の累乗数'''（ごのるいじょうすう）は、適当な[[自然数]] ''n'' を選べば、[[5]] の ''n'' 乗 5{{Sup|''n''}} の形に表せる自然数の総称である。

== 概説 ==
5倍を繰り返したり、1 + 1 + 1 + 1 + 1 から始めて答えを5つずつ加え合わせることによって得られる数である。いずれもごく基本的な数量操作であり、様々な場面で用いられる。

指数に[[正の数と負の数#%E7%B4%AF%E4%B9%97|負の整数]]を許すならば、5の冪乗（この場合、それらは自然数ではなく[[有理数]]である）の中には「5分の1」の概念も含まれてくる。実際、1 (5{{Sup|0}}), 1/5 (5<sup>−1</sup>), 1/[[25]] (5<sup>−2</sup>), 1/[[125]] (5<sup>−3</sup>), 1/[[625]] (5<sup>−4</sup>) … というようなものも、5の冪乗として表すことができる有理数である。

== 40乗までの5の累乗数（正の冪） ==
{{OEIS|A000351}}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|'''5{{sup|0}}'''
|'''='''
| align="right" |1
| rowspan="16" bgcolor="white" |
|'''5{{sup|16}}'''
|'''='''
| align="right" |'''152587890625'''
| rowspan="16" bgcolor="white" |
|'''5{{sup|32}}'''
|'''='''
| align="right" |'''23283064365386962890625'''
|-
|5{{sup|1}}
|=
| align="right" |5
|5{{sup|17}}
|=
| align="right" |762939453125
|5{{sup|33}}
|=
| align="right" |116415321826934814453125
|-
|5{{sup|2}}
|=
| align="right" |25
|5{{sup|18}}
|=
| align="right" |3814697265625
|5{{sup|34}}
|=
| align="right" |582076609134674072265625
|-
|5{{sup|3}}
|=
| align="right" |125
|5{{sup|19}}
|=
| align="right" |19073486328125
|5{{sup|35}}
|=
| align="right" |2910383045673370361328125
|-
|'''5{{sup|4}}'''
|'''='''
| align="right" |'''625'''
|'''5{{sup|20}}'''
|'''='''
| align="right" |'''95367431640625'''
|'''5{{sup|36}}'''
|'''='''
| align="right" |'''14551915228366851806640625'''
|-
|5{{sup|5}}
|=
| align="right" |3125
|5{{sup|21}}
|=
| align="right" |476837158203125
|5{{sup|37}}
|=
| align="right" |72759576141834259033203125
|-
|5{{sup|6}}
|=
| align="right" |15625
|5{{sup|22}}
|=
| align="right" |2384185791015625
|5{{sup|38}}
|=
| align="right" |363797880709171295166015625
|-
|5{{sup|7}}
|=
| align="right" |78125
|5{{sup|23}}
|=
| align="right" |11920928955078125
|5{{sup|39}}
|=
| align="right" |1818989403545856475830078125
|-
|- style="background:#e9e9e9;"
|'''5{{sup|8}}'''
|'''='''
| align="right" |'''390625'''
|'''5{{sup|24}}'''
|'''='''
| align="right" |'''59604644775390625'''
|'''5{{sup|40}}'''
|'''='''
| align="right" |'''9094947017729282379150390625'''
|-
|5{{sup|9}}
|=
| align="right" |1953125
|5{{sup|25}}
|=
| align="right" |298023223876953125
| colspan="3" rowspan="7" |
|-
|5{{sup|10}}
|=
| align="right" |9765625
|5{{sup|26}}
|=
| align="right" |1490116119384765625
|-
|5{{sup|11}}
|=
| align="right" |48828125
|5{{sup|27}}
|=
| align="right" |7450580596923828125
|-
|'''5{{sup|12}}'''
|'''='''
| align="right" |'''244140625'''
|'''5{{sup|28}}'''
|'''='''
| align="right" |'''37252902984619140625'''
|-
|5{{sup|13}}
|=
| align="right" |1220703125
|5{{sup|29}}
|=
| align="right" |186264514923095703125
|-
|5{{sup|14}}
|=
| align="right" |6103515625
|5{{sup|30}}
|=
| align="right" |931322574615478515625
|-
|5{{sup|15}}
|=
|30517578125
|5{{sup|31}}
|=
|4656612873077392578125
| colspan="2" |
|}

== 数量的な性質 ==
1を5の累乗数で割って行くと、小数には、位取り記数法の基数の5分の1の数が、累乗数として現れる。

例えば、[[十進法]]の位取り（十進数）では、1 を5の累乗数で割っていくと、小数には[[2の累乗数]]が現れる。

1 ÷ 5 = 0.2 (2{{sup|1}}) 

1 ÷ 25 = 0.04 (2{{sup|2}}) 

1 ÷ 125 = 0.008 (2{{sup|3}})

1 ÷ 625 = 0.0016 (2{{sup|4}})

1 ÷ 3125 = 0.00032 (2{{sup|5}})

1 ÷ 15625 = 0.000064 (2{{sup|6}})

1 ÷ 78125 = 0.0000128 (2{{sup|7}})

1 ÷ 390625 = 0.00000256 (2{{sup|8}})

1 ÷ 1953125 = 0.000000512 (2{{sup|9}})

1 ÷ 9765625 = 0.0000001024 (2{{sup|10}})

これらは

: <math> 2^{-n} \times 5^{-n} = 10^{-n} </math>

より

: <math> 5^{-n} = 2^n \times 10^{-n} </math>

であることから導かれる。

1以外の5の累乗数を十進法で表したとき、一の位は 5 である。また、1, 5以外の5の累乗数を十進法で表したとき、十の位は 2 、一の位は 5 である。

5{{sup|m}}（m ≧ n, n ≧ 2）の下 n 桁は次のようになる。
{| class="wikitable"
!桁
!2
!3
!4
!5
!6
! colspan="2" |7
!8
!9
!10
!…
!n
|-
| rowspan="16" |
|25
|125
|0625
|03125
|015625
|0078125
|5078125
| rowspan="16" |00390625,
01953125,

…,

97265625,

98828125
| rowspan="16" |001953125,
009765625,

…,

986328125,

994140625
| rowspan="16" |0009765625,
0048828125,

…,

9931640625

9970703125
! rowspan="16" |
| rowspan="16" |
|-
| rowspan="15" |
|625
|3125
|15625
|078125
|0390625
|5390625
|-
| rowspan="14" |
|5625
|28125
|140625
|0703125
|5703125
|-
|8125
|40625
|203125
|1015625
|6015625
|-
| rowspan="12" |
|53125
|265625
|1328125
|6328125
|-
|65625
|328125
|1640625
|6640625
|-
|78125
|390625
|1953125
|6953125
|-
|90625
|453125
|2265625
|7265625
|-
| rowspan="8" |
|515625
|2578125
|7578125
|-
|578125
|2890625
|7890625
|-
|640625
|3203125
|8203125
|-
|703125
|3515625
|8515625
|-
|765625
|3828125
|8828125
|-
|828125
|4140625
|9140625
|-
|890625
|4453125
|9453125
|-
|953125
|4765625
|9765625
|-
|通り
|1
|2
|4
|8
|16
| colspan="2" |32
|64
|128
|256
!…
|2{{sup|n－2}}
|}
m ≧ n, n ≧ 2 のとき、5{{sup|m}} の下 n 桁は 2{{sup|n－2}} 通りある。

== 常用対数との関係 ==
{{math|1=log{{sub|10}} 5 = 0.6989700043…}}

この値に n をかけて[[小数点]]以下を切り上げると 5{{sup|n}} が十進数で何桁の整数かわかる。

例えば、
:0.6989700043… &#xD7; 100 = 69.897… なので 5{{sup|100}} は70桁、

:0.6989700043… &#xD7; 256 = 178.936… なので 5{{sup|256}} は179桁の整数となる。

== 5の累乗和 ==
5の累乗数の和は、

[[0]], [[1]], [[6]], [[31]], [[156]], [[781]], 3906, 19531, 97656, 488281, 2441406, 12207031, 61035156, 305175781, 1525878906, 7629394531, 38146972656, 190734863281, 953674316406, 4768371582031, 23841857910156, 119209289550781, 596046447753906, 2980232238769531 …（{{OEIS|A003463}}）

で、1から 5{{sup|n}}（n ≧ 0）までの5の累乗数の和は {{Sfrac|5{{sup|n+1}}－1|4}} に等しい。

これらの数の末尾に25をつけた数（100 × 5の累乗数の和 + 25）は、25以上の5の累乗数である。

== その他の性質 ==
十進法では、下n桁（n ≧ 1）が 5{{sup|n}} の倍数であれば、その数は 5{{sup|n}} の倍数である。

下n桁が 5{{sup|n}} の倍数で、下 n+1 桁が 5{{sup|n+1}} の倍数でなければ、その数の約数で最大の5の累乗数は 5{{sup|n}} である。

例　{{val|1853070540093840001956842537745897243375}}

下3桁（375）が 5{{sup|3}} (= 125) の倍数で、下4桁（3375）が 5{{sup|4}} (= 625) の倍数でないので、この数の約数で最大の5の累乗数は 5{{sup|3}} である。

また、[[階乗]] n! の末尾の 0 の数を m とすると、 n! の約数で最大の5の累乗数は 5{{sup|m}} である。これは、10 = 2 × 5 で、5 が 2 よりも大きいからである。

例　50! = {{val|30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000}}

末尾の 0 の数が12個なので、50! の約数で最大の5の累乗数は 5{{sup|12}} である。

階乗 n! の末尾の 0 の数、n! を割り切れる最大の5の累乗数は

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18, 18, 18, 19…（{{OEIS|A027868}}）

[[素数階乗]]では、1# = 1, 2# = 2, 3# = 6 の約数で最大の5の累乗数は 5{{sup|0}} = 1 で、

5# = 30 以上の素数階乗はすべて、最大の5の累乗数の約数は 5{{sup|1}} = 5 である。 

== 関連項目 ==

* [[冪乗]]
* [[2の冪]]
* [[10の冪]]
* [[平方数]]
* [[立方数]]
* [[二重平方数]]
* [[等比数列]]
* [[等差数列]]
* [[五進法]]
{{巨大数}}{{Classes of natural numbers}}
[[Category:算術|このるいしようすう]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:位取り記数法]]
{{DEFAULTSORT:このるいしようすう}}