5の累乗数
5の累乗数（ごのるいじょうすう）は、適当な自然数 n を選べば、5 の n 乗 5テンプレート:Sup の形に表せる自然数の総称である。
概説
5倍を繰り返したり、1 + 1 + 1 + 1 + 1 から始めて答えを5つずつ加え合わせることによって得られる数である。いずれもごく基本的な数量操作であり、様々な場面で用いられる。
指数に負の整数を許すならば、5の冪乗（この場合、それらは自然数ではなく有理数である）の中には「5分の1」の概念も含まれてくる。実際、1 (5テンプレート:Sup), 1/5 (5−1), 1/25 (5−2), 1/125 (5−3), 1/625 (5−4) … というようなものも、5の冪乗として表すことができる有理数である。
40乗までの5の累乗数（正の冪）
| 5テンプレート:Sup | = | 1 | 5テンプレート:Sup | = | 152587890625 | 5テンプレート:Sup | = | 23283064365386962890625 | ||
| 5テンプレート:Sup | = | 5 | 5テンプレート:Sup | = | 762939453125 | 5テンプレート:Sup | = | 116415321826934814453125 | ||
| 5テンプレート:Sup | = | 25 | 5テンプレート:Sup | = | 3814697265625 | 5テンプレート:Sup | = | 582076609134674072265625 | ||
| 5テンプレート:Sup | = | 125 | 5テンプレート:Sup | = | 19073486328125 | 5テンプレート:Sup | = | 2910383045673370361328125 | ||
| 5テンプレート:Sup | = | 625 | 5テンプレート:Sup | = | 95367431640625 | 5テンプレート:Sup | = | 14551915228366851806640625 | ||
| 5テンプレート:Sup | = | 3125 | 5テンプレート:Sup | = | 476837158203125 | 5テンプレート:Sup | = | 72759576141834259033203125 | ||
| 5テンプレート:Sup | = | 15625 | 5テンプレート:Sup | = | 2384185791015625 | 5テンプレート:Sup | = | 363797880709171295166015625 | ||
| 5テンプレート:Sup | = | 78125 | 5テンプレート:Sup | = | 11920928955078125 | 5テンプレート:Sup | = | 1818989403545856475830078125 | ||
| 5テンプレート:Sup | = | 390625 | 5テンプレート:Sup | = | 59604644775390625 | 5テンプレート:Sup | = | 9094947017729282379150390625 | ||
| 5テンプレート:Sup | = | 1953125 | 5テンプレート:Sup | = | 298023223876953125 | |||||
| 5テンプレート:Sup | = | 9765625 | 5テンプレート:Sup | = | 1490116119384765625 | |||||
| 5テンプレート:Sup | = | 48828125 | 5テンプレート:Sup | = | 7450580596923828125 | |||||
| 5テンプレート:Sup | = | 244140625 | 5テンプレート:Sup | = | 37252902984619140625 | |||||
| 5テンプレート:Sup | = | 1220703125 | 5テンプレート:Sup | = | 186264514923095703125 | |||||
| 5テンプレート:Sup | = | 6103515625 | 5テンプレート:Sup | = | 931322574615478515625 | |||||
| 5テンプレート:Sup | = | 30517578125 | 5テンプレート:Sup | = | 4656612873077392578125 | |||||
数量的な性質
1を5の累乗数で割って行くと、小数には、位取り記数法の基数の5分の1の数が、累乗数として現れる。
例えば、十進法の位取り（十進数）では、1 を5の累乗数で割っていくと、小数には2の累乗数が現れる。
1 ÷ 5 = 0.2 (2テンプレート:Sup)
1 ÷ 25 = 0.04 (2テンプレート:Sup)
1 ÷ 125 = 0.008 (2テンプレート:Sup)
1 ÷ 625 = 0.0016 (2テンプレート:Sup)
1 ÷ 3125 = 0.00032 (2テンプレート:Sup)
1 ÷ 15625 = 0.000064 (2テンプレート:Sup)
1 ÷ 78125 = 0.0000128 (2テンプレート:Sup)
1 ÷ 390625 = 0.00000256 (2テンプレート:Sup)
1 ÷ 1953125 = 0.000000512 (2テンプレート:Sup)
1 ÷ 9765625 = 0.0000001024 (2テンプレート:Sup)
これらは
より
であることから導かれる。
1以外の5の累乗数を十進法で表したとき、一の位は 5 である。また、1, 5以外の5の累乗数を十進法で表したとき、十の位は 2 、一の位は 5 である。
5テンプレート:Sup（m ≧ n, n ≧ 2）の下 n 桁は次のようになる。
| 桁 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | … | n | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 25 | 125 | 0625 | 03125 | 015625 | 0078125 | 5078125 | 00390625,
01953125, …, 97265625, 98828125 |
001953125,
009765625, …, 986328125, 994140625 |
0009765625,
0048828125, …, 9931640625 9970703125 |
|||
| 625 | 3125 | 15625 | 078125 | 0390625 | 5390625 | |||||||
| 5625 | 28125 | 140625 | 0703125 | 5703125 | ||||||||
| 8125 | 40625 | 203125 | 1015625 | 6015625 | ||||||||
| 53125 | 265625 | 1328125 | 6328125 | |||||||||
| 65625 | 328125 | 1640625 | 6640625 | |||||||||
| 78125 | 390625 | 1953125 | 6953125 | |||||||||
| 90625 | 453125 | 2265625 | 7265625 | |||||||||
| 515625 | 2578125 | 7578125 | ||||||||||
| 578125 | 2890625 | 7890625 | ||||||||||
| 640625 | 3203125 | 8203125 | ||||||||||
| 703125 | 3515625 | 8515625 | ||||||||||
| 765625 | 3828125 | 8828125 | ||||||||||
| 828125 | 4140625 | 9140625 | ||||||||||
| 890625 | 4453125 | 9453125 | ||||||||||
| 953125 | 4765625 | 9765625 | ||||||||||
| 通り | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | … | 2テンプレート:Sup | |
m ≧ n, n ≧ 2 のとき、5テンプレート:Sup の下 n 桁は 2テンプレート:Sup 通りある。
常用対数との関係
この値に n をかけて小数点以下を切り上げると 5テンプレート:Sup が十進数で何桁の整数かわかる。
例えば、
- 0.6989700043… × 100 = 69.897… なので 5テンプレート:Sup は70桁、
- 0.6989700043… × 256 = 178.936… なので 5テンプレート:Sup は179桁の整数となる。
5の累乗和
5の累乗数の和は、
0, 1, 6, 31, 156, 781, 3906, 19531, 97656, 488281, 2441406, 12207031, 61035156, 305175781, 1525878906, 7629394531, 38146972656, 190734863281, 953674316406, 4768371582031, 23841857910156, 119209289550781, 596046447753906, 2980232238769531 …（テンプレート:OEIS）
で、1から 5テンプレート:Sup（n ≧ 0）までの5の累乗数の和は テンプレート:Sfrac に等しい。
これらの数の末尾に25をつけた数（100 × 5の累乗数の和 + 25）は、25以上の5の累乗数である。
その他の性質
十進法では、下n桁（n ≧ 1）が 5テンプレート:Sup の倍数であれば、その数は 5テンプレート:Sup の倍数である。
下n桁が 5テンプレート:Sup の倍数で、下 n+1 桁が 5テンプレート:Sup の倍数でなければ、その数の約数で最大の5の累乗数は 5テンプレート:Sup である。
下3桁（375）が 5テンプレート:Sup (= 125) の倍数で、下4桁（3375）が 5テンプレート:Sup (= 625) の倍数でないので、この数の約数で最大の5の累乗数は 5テンプレート:Sup である。
また、階乗 n! の末尾の 0 の数を m とすると、 n! の約数で最大の5の累乗数は 5テンプレート:Sup である。これは、10 = 2 × 5 で、5 が 2 よりも大きいからである。
例 50! = テンプレート:Val
末尾の 0 の数が12個なので、50! の約数で最大の5の累乗数は 5テンプレート:Sup である。
階乗 n! の末尾の 0 の数、n! を割り切れる最大の5の累乗数は
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18, 18, 18, 19…（テンプレート:OEIS）
素数階乗では、1# = 1, 2# = 2, 3# = 6 の約数で最大の5の累乗数は 5テンプレート:Sup = 1 で、
5# = 30 以上の素数階乗はすべて、最大の5の累乗数の約数は 5テンプレート:Sup = 5 である。