6j記号のソースを表示

ウィグナーの'''6j記号'''は、1940年に[[ユージン・ウィグナー]]によって定義され、1965年に発表された。[[ラカー係数]]と次のような関係にある。

:<math>
  \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6
  \end{Bmatrix}
   = (-1)^{j_1+j_2+j_4+j_5}W(j_1j_2j_5j_4;j_3j_6).
</math>
ラカー係数よりも高い対称性を持っている。

== 対称性 ==
6j記号は任意の二つの列の交換に対して不変である。

:<math>
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6
 \end{Bmatrix}
 =
 \begin{Bmatrix}
    j_2 & j_1 & j_3\\
    j_5 & j_4 & j_6
 \end{Bmatrix}
=
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_3 & j_2\\
    j_4 & j_6 & j_5
 \end{Bmatrix}
=
 \begin{Bmatrix}
    j_3 & j_2 & j_1\\
    j_6 & j_5 & j_4
 \end{Bmatrix}.
</math>
任意の2つの列における上下の要素を入れ替えても不変である。

:<math>
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6
 \end{Bmatrix}
 =
 \begin{Bmatrix}
    j_4 & j_5 & j_3\\
    j_1 & j_2 & j_6
 \end{Bmatrix}
 =
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_5 & j_6\\
    j_4 & j_2 & j_3
 \end{Bmatrix}
 =
 \begin{Bmatrix}
    j_4 & j_2 & j_6\\
    j_1 & j_5 & j_3
 \end{Bmatrix}.
</math>
6j記号
:<math>
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6
 \end{Bmatrix}
</math>
は、<math>j_1</math>、<math>j_2</math>、<math>j_3</math>に対して、以下の[[三角不等式]]を満たさない場合は0となる。
:<math>
  j_1 = |j_2-j_3|, \ldots, j_2+j_3.
</math>
上下の要素の入れ替えに対する対称性とあわせて考えると、<math>(j_1,j_5,j_6)</math>、<math>(j_4,j_2,j_6)</math>、<math>(j_4,j_5,j_3)</math>に対しても三角不等式が満たされなければならない。

== 別の形 ==
<math>
  \begin{Bmatrix}
    a & b & c\\
    d & e & f
\end{Bmatrix}
= \prod_{i=1}^4\sqrt{\Delta(\hat{\alpha}_i)} \sum_k (-1)^k\frac{(k+1)!}{\prod_{j=1}^4(k-\alpha_j)!\prod_{l=1}^3(\beta_l-k)!}
   
</math><ref>{{Cite journal|last=Johansson|first=H. T.|last2=Forssén|first2=C.|date=2016-01-XX|title=Fast and accurate evaluation of Wigner 3j, 6j, and 9j symbols using prime factorisation and multi-word integer arithmetic|url=https://arxiv.org/abs/1504.08329|journal=SIAM Journal on Scientific Computing|volume=38|issue=1|pages=A376–A384|doi=10.1137/15M1021908|issn=1064-8275}}</ref>

ここで、

<math>
  \begin{align}
    \Delta(a,b,c) = \frac{(a+b-c)!(a-b+c)!(-a+b+c)!}{(a+b+c+1)!}
\end{align}
   
</math>

<math>
  \begin{align}
    \hat{\alpha}_1 &= (a,b,c) & \hat{\alpha}_2 &= (d,e,c) & \hat{\alpha}_3 &= (a,e,f) & \hat{\alpha}_4 &= (d,b,f)  \\
    \alpha_1 &= a+b+c & \alpha_2 &= d+e+c & \alpha_3 &= a+e+f & \alpha_4 &= d+b+f  \\
    \beta_1 &= a+b+d+e & \beta_2 &= a+c+d+f & \beta_3 &= b+c+e+f
\end{align}
   
</math>

== 特殊な場合 ==
<math>j_6=0</math>となる場合、6j記号は次のようになる。
:<math>
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & 0
 \end{Bmatrix}
 = \frac{\delta_{j_2,j_4}\delta_{j_1,j_5}}{\sqrt{(2j_1+1)(2j_2+1)}} (-1)^{j_1+j_2+j_3}\Delta(j_1,j_2,j_3).
</math>
<math>(j_1,j_2,j_3)</math>が三角不等式を満たす場合、<math>\Delta(j_1,j_2,j_3)</math>は1となり、それ以外は0となる。この対称性の関係は、どれかの<math>j</math>が0となる場合の導出に用いられる。

== 直交性 ==
6j記号は次の直交関係を満たす。
:<math>
  \sum_{j_3} (2j_3+1)
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6
 \end{Bmatrix}
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6'
 \end{Bmatrix}
  = \frac{\delta_{j_6^{}j_6'}}{2j_6+1} \Delta(j_1,j_5,j_6) \Delta(j_4,j_2,j_6).
</math>

== 参考 ==

* [[クレブシュ-ゴルダン係数]]
* [[3j記号]]
* [[ラカー係数]]

== 文献 ==

* {{cite book |last= Biedenharn |first= L. C. |coauthors= van Dam, H. 
    |title= Quantum Theory of Angular Momentum: A collection of Reprints and Original Papers
    |year= 1965 |publisher= [[Academic Press]] |location= New York |isbn= 0120960567}}

* {{cite book |last= Edmonds |first= A. R. |title= Angular Momentum in Quantum Mechanics |year= 1957
    |publisher= [[Princeton University Press]] |location= Princeton, New Jersey |isbn= 0-691-07912-9}}

* {{cite book |last= Condon |first= Edward U. |coauthors= Shortley, G. H. |title= The Theory of Atomic Spectra |year= 1970
    |publisher= [[Cambridge University Press]] |location= Cambridge |isbn= 0-521-09209-4 |chapter= Chapter 3}}
* {{cite book |last= Messiah |first= Albert |title= Quantum Mechanics (Volume II) |year= 1981 | edition= 12th edition
    |publisher= [[Elsevier|North Holland Publishing]] |location= New York |isbn= 0-7204-0045-7}}

* {{cite book |last= Brink |first= D. M. |coauthors= Satchler, G. R.  |title= Angular Momentum
    |year= 1993 |edition= 3rd edition |publisher= [[オックスフォード大学出版局|Clarendon Press]] |location= Oxford |isbn= 0-19-851759-9 |chapter= Chapter 2 }}

* {{cite book |last= Zare |first= Richard N. |title= Angular Momentum |year=1988
    |publisher= [[John Wiley & Sons|John Wiley]] |location= New York |isbn= 0-471-85892-7 |chapter= Chapter 2}}

* {{cite book |last= Biedenharn |first= L. C. |coauthors= Louck, J. D. |title= Angular Momentum in Quantum Physics
    |year= 1981 |publisher= [[Addison-Wesley]] |location= Reading, Massachusetts |isbn= 0201135078 }}
*Johansson, H. T., & Forssén, C. (2016). Fast and accurate evaluation of Wigner 3 j, 6 j, and 9 j symbols using prime factorization and multiword integer arithmetic. ''SIAM Journal on Scientific Computing'', ''38''(1), A376-A384.

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* [http://www-stone.ch.cam.ac.uk/wigner.shtml Anthony Stone’s Wigner coefficient calculator] (Gives exact answer)
* [http://www.volya.net/vc/vc.php Clebsch-Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator]
* [http://plasma-gate.weizmann.ac.il/369j.html 369j-symbol calculator at the Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science]

{{DEFAULTSORT:6jろくしえいきこう}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:回転対称性]]
[[Category:モノイド圏]]
[[Category:数学に関する記事]]