6j記号

ウィグナーの6j記号は、1940年にユージン・ウィグナーによって定義され、1965年に発表された。ラカー係数と次のような関係にある。

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{4} + j_{5}} W (j_{1} j_{2} j_{5} j_{4}; j_{3} j_{6}) .

ラカー係数よりも高い対称性を持っている。

対称性

6j記号は任意の二つの列の交換に対して不変である。

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{2} & j_{1} & j_{3} \\ j_{5} & j_{4} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{1} & j_{3} & j_{2} \\ j_{4} & j_{6} & j_{5} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{3} & j_{2} & j_{1} \\ j_{6} & j_{5} & j_{4} \end{matrix}} .

任意の2つの列における上下の要素を入れ替えても不変である。

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{4} & j_{5} & j_{3} \\ j_{1} & j_{2} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{1} & j_{5} & j_{6} \\ j_{4} & j_{2} & j_{3} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{4} & j_{2} & j_{6} \\ j_{1} & j_{5} & j_{3} \end{matrix}} .

6j記号

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}}

は、 $j_{1}$ 、 $j_{2}$ 、 $j_{3}$ に対して、以下の三角不等式を満たさない場合は0となる。

j_{1} = | j_{2} - j_{3} |, \dots, j_{2} + j_{3} .

上下の要素の入れ替えに対する対称性とあわせて考えると、 $(j_{1}, j_{5}, j_{6})$ 、 $(j_{4}, j_{2}, j_{6})$ 、 $(j_{4}, j_{5}, j_{3})$ に対しても三角不等式が満たされなければならない。

別の形

${\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \end{matrix}} = \prod_{i = 1}^{4} \sqrt{Δ ({\hat{α}}_{i})} \sum_{k} (- 1)^{k} \frac{(k + 1)!}{\prod_{j = 1}^{4} (k - α_{j})! \prod_{l = 1}^{3} (β_{l} - k)!}$ ^[1]

ここで、

$\begin{matrix} Δ (a, b, c) = \frac{(a + b - c)! (a - b + c)! (- a + b + c)!}{(a + b + c + 1)!} \end{matrix}$

$\begin{matrix} {\hat{α}}_{1} & = (a, b, c) & {\hat{α}}_{2} & = (d, e, c) & {\hat{α}}_{3} & = (a, e, f) & {\hat{α}}_{4} & = (d, b, f) \\ α_{1} & = a + b + c & α_{2} & = d + e + c & α_{3} & = a + e + f & α_{4} & = d + b + f \\ β_{1} & = a + b + d + e & β_{2} & = a + c + d + f & β_{3} & = b + c + e + f \end{matrix}$

特殊な場合

$j_{6} = 0$ となる場合、6j記号は次のようになる。

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & 0 \end{matrix}} = \frac{δ_{j_{2}, j_{4}} δ_{j_{1}, j_{5}}}{\sqrt{(2 j_{1} + 1) (2 j_{2} + 1)}} (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} Δ (j_{1}, j_{2}, j_{3}) .

$(j_{1}, j_{2}, j_{3})$ が三角不等式を満たす場合、 $Δ (j_{1}, j_{2}, j_{3})$ は1となり、それ以外は0となる。この対称性の関係は、どれかの $j$ が0となる場合の導出に用いられる。

直交性

6j記号は次の直交関係を満たす。

\sum_{j_{3}} (2 j_{3} + 1) {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & {j_{6}}^{'} \end{matrix}} = \frac{δ_{j_{6}^{} {j_{6}}^{'}}}{2 j_{6} + 1} Δ (j_{1}, j_{5}, j_{6}) Δ (j_{4}, j_{2}, j_{6}) .

参考

文献

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Johansson, H. T., & Forssén, C. (2016). Fast and accurate evaluation of Wigner 3 j, 6 j, and 9 j symbols using prime factorization and multiword integer arithmetic. SIAM Journal on Scientific Computing, 38(1), A376-A384.

脚注

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外部リンク

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[1]

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対称性

別の形

特殊な場合

直交性

参考

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