A∞-オペラドのソースを表示

{{出典の明記|date=2020年12月6日 (日) 06:27 (UTC)}}
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[[代数学]]、[[代数的位相幾何学|代数的トポロジー]]、あるいはオペラド理論において、'''A∞-オペラド'''とは、積写像のパラメータ空間で、[[ホモトピー|連接ホモトピー]]の類似概念である。

== 定義 ==
[[位相空間]]上の対称群の作用によって構成されるオペラドAはA∞と呼ばれ、その'<nowiki/>'''A(N)'<nowiki/>'''の全体がなす空間は<sub>''Σn''</sub>-オペラド空間（<sub>''ΣN''</sub>[[対称群]]であり、乗算作用'''''（N∈N）'''''を有する）となる。その空間'<nowiki/>'''A(N)''''が可縮である場合は、非Σオペラドが構成され（非対称オペラドと呼ばれる）、オペラド''Aは<sub>A∞</sub>''となる。位相空間以外の[[圏 (数学)|圏]]では、''可縮を''[[鎖複体]]の圏と[[擬同型]]なものに置き換える必要がある。

== An-オペラド ==
用語の文字''A''は「連想」を表し、無限大記号は、「任意」よりも高いホモトピーまで連想性が必要であることを意味する。より一般に、 '''''A''<sub>''n-''</sub> オペラド''' （ ''n''&nbsp;∈&nbsp;'''N''' ）が定義でき、これは特定のレベルのホモトピーまでしか結合しないパラメータ乗算を持つ。

== A∞-オペラドと単ループ空間 ==
空間''X''を体上の[[体上の多元環|多元環]]とすると、 ''BX''はループ空間となる。 <math>A_{\infty}</math>の連結成分の''&#x3C0;''はモノイド基底となる。体上の多元環である場合、<math>A_{\infty}</math> -オペラドは'''<math>\mathbf{A}_{\infty}</math> -空間'''になる。ループ空間において、この特性による3つの結果がある。まず、ループ空間は<math>A_{\infty}</math> -空間になる。第二に、接続された<math>A_{\infty}</math>-空間''X''がループ空間になる。第三に、切断可能で群完備な<math>A_{\infty}</math> -空間はループ空間となる。

ホモトピー理論における<math>A_{\infty}</math>-オペラドの重要性は、<math>A_{\infty}</math>-オペラドとループ空間上の代数関係に由来する。

== A∞-代数 ==
<math>A_{\infty}</math>-オペラド上の多元環は<math>A_{\infty}</math>-代数と呼ばれる。例えば、[[シンプレクティック多様体]]の深谷圏がある（擬正則曲線も参照）。

== 例 ==
有用ではないが最も自明な<math>A_{\infty}</math> -オペラドの例は''次''式で与え''ら''れる。<math>a(n) = \Sigma_n</math> 。このオペラドは、結合法則の積を表している。定義上、この<math>A_{\infty}</math>-オペラドはホモトピー同値な写像を持っている。

スタシェフによるポリトープで与えられる<math>A_{\infty}</math> -オペラドとしてアソシアヘドラがある 。

組み合わせ論の例として、'''微小階差'''の'''オペラドがある'''：空間<math>A(n)</math>は単位区間から、''n個の''互いに素な[[区間 (数学)|区間]]への埋め込み全体で構成される。

== 関連項目 ==
* ホモトピー結合多元環
* [[オペラド]]
* E-無限オペラド
* ループ空間

[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:抽象代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]