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'''ARCHモデル'''（アーチモデル、{{lang-en-short|autoregressive conditional heteroscedasticity model, ARCH model}}）とは、[[金融経済学]]、[[統計学]]、[[計量経済学]]などにおいて[[#分散不均一性|分散不均一性]]を示す[[時系列]]データに適用されるモデル。日本語では、「分散自己回帰モデル」「分散不均一モデル」等と称される。[[1982年]]に[[ロバート・エングル]]によって提案された<ref name=Engle82>{{Harvnb|Engle|1982|Ref=Engle1982}}</ref>。特に金融時系列データへの適用事例が多い。

== 分散不均一性 ==
株式の収益率をプロットすると、ある時期(景気が安定して拡大している時期など)には変動の程度([[ボラティリティ]])が平均して小さく、別の時期(不況の直前など)にはボラティリティが平均して大きくなる傾向が観察される。このようなボラティリティが時期によって異なった水準を示すことを'''ボラティリティ・クラスタリング'''({{lang-en-short|volatility clustering}})、または'''分散不均一性'''({{lang-en-short|heteroscedasticity}})と呼ぶ。分散不均一性は金融時系列データをはじめ幅広く見られる現象である。

== ARCH(q)モデル ==
時刻 <math>t</math> における時系列データ <math> y_{t} </math> の時刻 <math>t-1</math> までの情報による条件付き期待値を <math>\mu_{t}</math> とする。<math> y_{t} </math> と <math>\mu_{t}</math> の差を <math>u_t = y_{t} - \mu_{t}</math> とする。さらに

:<math> u_t=\sigma_t \varepsilon_t </math>

と分解できるとする。ただし <math>\varepsilon_{t}</math> は平均が0、分散が1の確率変数で、<math>\sigma_{t}</math> はボラティリティであり、時刻 <math>t-1</math> までの情報で確定していると考える。すなわち、時刻 <math>t-1</math> の時点で、時刻 <math>t</math> におけるこの時系列データのボラティリティは予測できる、と考えるのである。他方、<math>u_t</math> そのものは実際に時刻 <math>t</math> になり確率変数 <math>\varepsilon_t</math> の値が確定するまでは確定しない。よって <math> y_{t} </math> 自体は

:<math> y_{t} = \mu_{t} + u_{t} = \mu_{t} + \sigma_t \varepsilon_t </math>

と表せる。ARCH(q)モデルの下で条件付ボラティリティ <math>\sigma_t</math> は以下の式で決定される。

:<math> \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 u_{t-1}^2+\cdots+\alpha_q u_{t-q}^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_{i} u_{t-i}^2 </math>

つまりARCH(q)モデルでは、q 期前までの平均からの乖離部分 <math>u_{t-i}</math> の2乗が条件付きボラティリティに影響を与えている。仮定から <math>v_{t} = u_{t}^2 - E_{t-1}[u_{t}^2] = u_{t}^2 - \sigma_{t}^2</math> であるのでARCHモデルの決定式は

:<math> u_{t}^2 = \alpha_{0} + \sum_{i=1}^q \alpha_{i} u_{t-i}^2 + v_{t} </math>

と書き直すことが出来る。さらに <math>v_{t}</math> は <math>E[u_{t-i}^2v_{t}] = 0,\;i=1,\dots</math> であることも分かる。つまり <math> u_{t}^2 </math> から見ると q 次の[[自己回帰]]モデルと見なせる。よって <math>u_{t}^2</math> について自己回帰({{lang-en-short|autoregressive}})であり、条件付き({{lang-en-short|conditional}})ボラティリティ <math>\sigma_{t}</math> が分散不均一性({{lang-en-short|heteroscedasticity}})を示すことから頭文字を取りARCHモデルと名付けられている。<math>u_{t}^2</math> についての[[定常過程|定常性]]条件から次の <math>z</math> についての方程式

:<math> 1 - \sum_{i=1}^q \alpha_{i}z^i = 0</math>

の全ての解の絶対値が1より大きくなるように係数 <math>\alpha_{i},\;i=1,\dots,q</math> に条件が課される場合が多い。

== GARCH(p,q)モデル ==
[[1986年]]にロバート・エングルの弟子{{仮リンク|Tim Bollerslev|en|Tim Bollerslev}}はARCHモデルを一般化した'''GARCHモデル'''（がーちモデル、{{lang-en-short|Generalized ARCH model, GARCH model}}）を提案した<ref name=Bollerslev86>{{Harvnb|Bollerslev|1986|Ref=Bollerslev1986}}</ref>。GARCHモデルでは、条件付ボラティリティ <math>\sigma_t</math> は以下のように決定される。

:<math> \sigma_t^2=\alpha_0 + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_q u_{t-q}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \cdots + \beta_p\sigma_{t-p}^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_i u_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^p \beta_i \sigma_{t-i}^2 .</math>

すなわち、現在の条件付ボラティリティは p 期前までの条件付ボラティリティと q 期前までの平均からの乖離部分の2乗により決定される。Bollerslev も当該論文中の実証分析の節で述べているが、ARCHモデルを金融時系列データに適用すると分散の長期記憶性を再現する為に次数 q が大きくなる傾向があったが、GARCHモデルは比較的小さい次数(p = 1, q = 1)でも十分に分散の長期記憶性が再現されるので、ARCHモデルに比べると倹約的なモデルとなる。GARCHモデルにおいては <math>u_{t}^2</math> は[[自己回帰移動平均モデル]]として表され、その定常条件は

:<math> 1 - \sum_{i=1}^{\max\{p,q\}}(\alpha_{i} + \beta_{i})z^i = 0</math>

の全ての解の絶対値が1より大きくなることである。ただし <math>\alpha_{i} = 0,\;i>q</math> かつ <math>\beta_{i} = 0,\;i>p</math> である。

== GARCHモデルの拡張 ==
GARCHモデルは様々な拡張がなされている。以下で代表的なものを述べる。

=== EGARCHモデル ===
Daniel B. Nelson が[[1991年]]に提案したExponential GARCH(p,q)モデル(EGRACH(p,q)モデル)は以下のようにボラティリティが決定する<ref>{{Harvnb|Nelson|1991|Ref=Nelson1991}}</ref>。

:<math> \log \sigma_{t}^2 = \omega + \sum_{i=1}^p\beta_{i}\log\sigma_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^q\Big(\alpha_{i}\varepsilon_{t-i} + \gamma_{i}\Big(|\varepsilon_{t-i}| - E[|\varepsilon_{t-i}|]\Big)\Big) </math>

EGARCHモデルにおいては通常のGARCHモデルと異なり、<math>u_{t-i}</math> ではなく、それを <math>\sigma_{t-i} </math> で割った <math>\varepsilon_{t-i}</math> がボラティリティに影響を与える。条件付き分散の対数に対してモデル化が行われているため、通常のGARCHモデルに比べると非負性や定常性のための制約が緩くなるという利点がある。

=== GJR GARCHモデル ===
Lawrence R. Glosten, {{仮リンク|Ravi Jagannathan|en|Ravi Jagannathan}}, David E. Runkle によって[[1993年]]に提案されたGJR GARCHモデルは以下のようにボラティリティが決定する<ref>{{Harvnb|Glosten, Jagannathan and Runkle|1993|Ref=Glosten,Jagannathan,Runkle1993}}</ref>。

:<math> \sigma_{t}^2 = \omega + \alpha u_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2 + \gamma u_{t-1}^2I_{t-1} </math>

ただし、<math>I_{t-1}</math> は <math>u_{t-1}</math> が負ならば1、正ならば0を取る変数である。株価収益率などが持つ、下落局面でボラティリティがより増加するレバレッジ効果を捉えるためのモデルである。

=== Heston-Nandi GARCH モデル ===
{{仮リンク|Steven L. Heston|en|Steven L. Heston}}, Saikat Nandi により[[2000年]]に提案されたHeston-Nandi GARCH(p,q)モデルは以下のようにボラティリティが決定する<ref>{{Harvnb|Heston and Nandi|2000|Ref=Heston,Nandi2000}}</ref>。

:<math> \sigma_{t}^2 = \omega + \sum_{i=1}^p\beta_{i} \sigma_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^q\alpha_{i}\Big(\varepsilon_{t-i} - \gamma_{i}\sigma_{t-i}\Big)^2 </math>

Heston-Nandi GARCHモデルもEGARCHモデルと同様に <math>u_{t-i}</math> ではなく <math>\varepsilon_{t-i}</math> がボラティリティに影響を与える。また、このモデルもGJR GARCHモデルと同様にレバレッジ効果を捉えることができる。さらに[[デリバティブ]]の[[オプション取引|オプション]]と親和性が高く、Heston-Nandi GARCHモデルに従う株式のオプションについて、その[[無裁定価格理論|無裁定価格]]が導出されている。しかし、Heston-Nandi GARCHモデルはモデルが[[過適合]]を起こしやすいという欠点もある。

== 多変数モデルへの拡張 ==
ここまで述べてきたGARCHモデルはいずれも単一変数の時系列データに対して適用されるものであったが、多変数の時系列データに対してその相関構造を内包しつつ適用可能なGARCHモデルも存在する。例としてBEKKモデル<ref>{{Harvnb|Engle and Kroner|1995|Ref=Engle,Kroner1995}}</ref>やCCC-GARCHモデル<ref>{{Harvnb|Bollerslev|1990|Ref=Bollerslev1990}}</ref>、DCC-GARCHモデル<ref>{{Harvnb|Engle|2002|Ref=Engle2002}}</ref>などがある。

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Citation
|last = Engle
|first = Robert F.
|title = Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation
|journal = Econometrica
|year = 1982
|volume = 50
|issue = 4
|pages = 987-1007
|jstor = 1912773
|ref = Engle1982}}
* {{Citation
|last = Bollerslev
|first = Tim
|title = Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity
|journal = Journal of Econometrics
|year = 1986
|volume = 31
|issue = 3
|pages = 307-327
|doi = 10.1016/0304-4076(86)90063-1
|ref = Bollerslev1986}}
* {{Citation
|last = Nelson
|first = Daniel B.
|title = Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach
|journal = Econometrica
|year = 1991
|volume = 59
|issue = 2
|pages = 347-370
|jstor = 2938260
|ref = Nelson1991}}
* {{Citation
|last1 = Glosten
|first1 = Lawrence R.
|last2 = Jagannathan
|first2 = Ravi
|last3 = Runkle
|first3 = David E.
|title = On the relation between the expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks
|journal = The Journal of Finance
|year = 1993
|volume = 48
|issue = 5
|pages = 1779-1801
|doi = 10.1111/j.1540-6261.1993.tb05128.x
|ref = Glosten,Jagannathan,Runkle1993}}
* {{Citation
|last1 = Heston
|first1 = Steven L.
|last2 = Nandi
|first2 = Saikat
|title = A closed-form GARCH option valuation model
|journal = The Review of Financial Studies
|year = 2000
|volume = 13
|issue = 3
|pages = 585-625
|doi = 10.1093/rfs/13.3.585
|ref = Heston,Nandi2000}}
* {{Citation
|last1 = Engle
|first1 = Robert F.
|last2 = Kroner
|first2 = Kenneth F.
|title = Multivariate simultaneous generalized ARCH
|journal = Econometric Theory
|year = 1995
|volume = 11
|issue = 1
|pages = 122-150
|doi = 10.1017/S0266466600009063
|ref = Engle,Kroner1995}}
* {{Citation
|last = Bollerslev
|first = Tim
|title = Modelling the coherence in short-run nominal exchange rates: A multivariate generalized ARCH model
|journal = The Review of Economics and Statistics
|year = 1990
|volume = 72
|issue = 3
|pages = 498-505
|jstor = 2109358
|ref = Bollerslev1990}}
* {{Citation
|last = Engle
|first = Robert F.
|title = Dynamic conditional correlation: A simple class of multivariate generalized autoregressive conditional heteroskedasticity models
|journal = Journal of Business and Economic Statistics
|year = 2002
|volume = 20
|issue = 3
|pages = 339-350
|doi = 10.1198/073500102288618487
|ref = Engle2002}}

== 関連項目 ==
* [[ボラティリティ]]
* [[確率的ボラティリティモデル]]
* [[恐怖指数]]

{{統計学}}
{{DEFAULTSORT:ああちもてる}}
[[Category:金融経済学]]
[[Category:計量経済学]]
[[Category:統計モデル]]
[[Category:時系列分析]]
[[Category:種類別のモデル]]