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{{No footnotes|date=2020-01-02}}
{{lowercase|ba空間}}
[[数学]]において、[[集合代数]] {{math|Σ}} に対する '''ba-空間'''（baくうかん、{{Lang-en-short|ba space}}）{{math|ba(Σ)}} とは、{{math|Σ}} 上のすべての[[有界函数|有界]]かつ[[有限加法的測度|有限加法的]]な[[符号付測度]]からなる[[バナッハ空間]]である。ノルムは次のように{{仮リンク|全変動|label=絶対変動の全測度|en|total variation}} {{math|{{norm|&nu;}} :{{=}} {{abs|&nu;}}(''X'')}} で与えられる{{harv|Dunford|Schwartz|1958|loc=IV.2.15}}。

{{math|Σ}} が[[完全加法族| {{math|σ}}-代数]]となるとき、{{math|ba(Σ)}} の部分集合として[[可算加法性|可算加法的測度]]からなる空間 {{math|ca(Σ)}} が定義される {{harv|Dunford|Schwartz|1958|loc=IV.2.16}}。ここで記号 ''ba'' は「有界加法的（'''b'''ounded '''a'''dditive）」にちなみ、''ca'' は「可算加法的（'''c'''ountably '''a'''dditive）」にちなむ。

{{mvar|X}} が[[位相空間]]で、{{math|Σ}} が {{mvar|X}} における[[ボレル集合]]全体の成す {{math|σ}}-代数であるとき、{{math|ca(Σ)}} の部分空間として、{{mvar|X}} 上のすべての[[正則測度|正則]][[ボレル測度]]からなる空間 {{math|rca(''X'')}} を考えることができる {{harv|Dunford|Schwartz|1958|loc=IV.2.17}}。

== 性質 ==
上述の三つの空間はすべて、全変動として定義される同一のノルムに関して完備（すなわち[[バナッハ空間]]）であり、したがって {{math|ca(Σ)}} は {{math|ba(Σ)}} の閉部分集合であり、また {{mvar|X}} 上のボレル集合代数 {{math|Σ}} に対して {{math|rca(''X'')}} は {{math|ca(Σ)}} の閉部分集合となる。{{math|Σ}} 上の[[単函数]]の空間は {{math|ba(Σ)}} において[[稠密集合|稠密]]である。

[[自然数]]の[[冪集合]]に対する ba-空間 {{math|ba(2<sup>'''N'''</sup>)}} は、しばしば単に {{math|ba}} と表記される。これは [[lp空間|ℓ<sup>∞</sup> 空間]]の[[双対空間]]と[[位相同型]]である。

=== {{math|B(Σ)}} の双対空間 ===
有界な {{math|Σ}}-可測函数全体の成す集合に[[一様ノルム]]を入れた空間 {{math|B(Σ)}} に対し、{{math|ba(Σ) {{=}} B(Σ){{msup|∗}}}} は {{math|B(Σ)}} の[[連続双対]]となる。この事実は {{harvtxt|Hildebrandt|1934}} および {{harvtxt|Fichtenholtz|Kantorovich|1934}} により発見された。これは、測度が可測函数を変数に取る線型汎函数として表現できることを言う[[リースの表現定理]]の一種である。特に、この同型写像により有限加法的測度に関する[[積分]]を定義することが可能となる（通常のルベーグ積分では「可算」加法性が要求されることに注意されたい）。これは {{harvtxt|Dunford|Schwartz|1958}} による結果で、[[ベクトル測度]]に関する積分 {{harv|Diestel|Uhl|1977|loc=Chapter I}}、特にベクトル値[[ラドン測度]]に関する積分を定義するためにしばしば用いられる。

{{math|ba(Σ) {{=}} B(Σ){{msup|∗}}}} が位相的な双対であることを確かめるのは容易である。明らかに、{{math|Σ}} 上の有限加法的測度 {{math|σ}} 全体の成すベクトル空間と[[単函数]]全体の成すベクトル空間とは（{{math|&mu;(''A'') {{=}} &zeta;(1{{ind|''A''}})}} を考えることにより）「代数的」に双対である。{{math|σ}} の誘導する線型形式が上限ノルムに関して連続となるための必要十分条件が {{math|σ}} が有界となることであるのを示すのは難しくない。単函数全体の成す稠密部分空間上の線型形式が {{math|B(Σ){{msup|∗}}}} の元に延長されるための必要十分条件は、それが上限ノルムについて連続であることなので、所期の結果が従う。

=== {{math|''L''<sup>∞</sup>(''μ'')}} の双対空間 ===
{{math|Σ}} が[[完全加法族| {{math|σ}}-代数]]を成し、かつ {{mvar|μ}} が {{math|Σ}} 上の {{mvar|σ}}-加法的正測度であるとき、[[Lp空間| {{math|''L''<sup>∞</sup>(''μ'')}}]] に[[本質的上限]]ノルムを入れたものは、定義により、{{math|B(Σ)}} を有界 {{mvar|μ}}-零函数全体の成す閉部分空間
: <math>N_\mu:=\{f\in B(\Sigma) : f = 0,\,\mu\text{-almost everywhere} \}</math>
で割って得られる[[商位相空間|商空間]]となる。したがって双対バナッハ空間 {{math|''L''<sup>∞</sup>(''μ''){{msup|∗}}}} は
: <math>N_\mu^\perp=\{\sigma\in ba(\Sigma) : \mu(A)=0\implies \sigma(A)= 0 \text{ for any }A\in\Sigma\}</math>
に同型である。これはすなわち、{{mvar|μ}} に関して[[絶対連続]]（以下、簡略化のため {{mvar|μ}}-a.c. と書く）な {{math|Σ}} 上の有限加法的符号付測度の空間である。

測度空間がさらに {{mvar|σ}}-有限ならば、{{math|''L''<sup>∞</sup>(''μ'')}} は {{math|''L''<sup>1</sup>(''μ'')}} の双対となる。後者の空間は、[[ラドン&ndash;ニコディムの定理]]より、すべての可算加法的 {{mvar|μ}}-a.c. 測度の集合となる。言い換えると、二重双対に関する次の包含

:<math>L^1(\mu)\subset L^1(\mu)^{**}=L^{\infty}(\mu)^*</math>

は、すべての有限加法的 ''μ''-a.c. 有界測度の空間の内側に可算加法的 ''μ''-a.c. 有界測度の空間が含まれるという包含と同型である。

== 参考文献 ==
* {{citation|title=Sequences and series in Banach spaces|first=Joseph|last=Diestel|publisher=Springer-Verlag|year=1984|isbn=0-387-90859-5|oclc=9556781}}.
* {{citation|first1=J.|last1=Diestel|first2=J.J.|last2=Uhl|title=Vector measures|publisher=American Mathematical Society|year=1977|series=Mathematical Surveys|volume=15}}.
* {{citation|first1=N.|last1=Dunford|first2=J.T.|last2=Schwartz|title=Linear operators, Part I|publisher=Wiley-Interscience|year=1958}}.
* {{citation|first=T.H.|last=Hildebrandt|title=On bounded functional operations|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=36|year=1934|pages=868–875|doi=10.2307/1989829|jstor=1989829|issue=4}}.
* {{citation|last1=Fichtenholz|first1=G|last2=Kantorovich|first2=L.V.|year=1934|journal=Studia Mathematica|volume=5|pages=69–98|title=Sur les opérations linéaires dans l'espace des fonctions bornées}}.
* {{citation|title=Finitely additive measures|first1=K|last1=Yosida|first2=E|last2=Hewitt|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=72|pages=46–66|doi=10.2307/1990654|year=1952|issue=1|jstor=1990654}}.

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[[Category:測度論]]
[[Category:バナッハ空間]]
[[Category:数学に関する記事]]