CR多様体のソースを表示

数学において、'''CR多様体'''（CRたようたい、{{lang-en-short|CR manifold}}）とは，[[微分可能多様体]]で，[[複素数|複素数空間]]の中の実[[超曲面]]の幾何構造をモデル化したものである．

CR は，[[コーシー・リーマン方程式|コーシー・リーマン]]，あるいは，複素 (Complex)・実 (Real)<ref>https://secure.msri.org/calendar/sgw/WorkshopInfo/434/show_sgw</ref> の省略形である．

== 導入 ==
CR多様体のモデルは[[複素数空間]] <math>\mathbb{C}^{n}</math> 内の[[領域 (解析学)|領域]]の滑らかな境界である.

領域 <math>\Omega \subset \mathbb{C}^{n}</math> の滑らかな境界<math>M</math> について, 次で定義される{{仮リンク|複素化|en|complexified}}(complexified)された[[接束]] <math>\mathbb{C} T M = TM \otimes \mathbb{C}</math> の部分[[ベクトル束]] <math>L</math> を考えよう:

<math>L := \mathbb{C} T M \, \cap \, T^{1,0}\mathbb{C}^{n}. </math>

ここで, <math>T^{1,0}\mathbb{C}^{n}</math> は <math>\mathbb{C}^{n}</math> の[[正則接束]]を表すとする. このとき, <math>L</math> は次を満たす: 
* <math>[L,L]\subset L</math>,  
* <math>L\cap\overline{L}=\{0\}</math>.

ただし, <math>\overline{L}</math> は <math>L</math> の[[複素共役]]とする.

== 定義 ==
'''CR多様体'''とは，微分可能多様体 <math>M</math> とその上の{{仮リンク|複素化|en|complexified}}(complexified)された[[接束]] <math>\mathbb{C} T M = TM \otimes \mathbb{C}</math> の部分[[ベクトル束]] <math>L</math> で次の条件を満たすものの組 <math>(M, L)</math> のことである: 
* <math>[L,L]\subset L</math>  ( <math>L</math> は[[可積分条件|可積分]](integrable)である ), 
* <math>L\cap\bar{L}=\{0\}</math>.

ここで, <math>\overline{L}</math> は <math>L</math> の[[複素共役]]とする. このとき，ベクトル束 <math>L</math> を多様体 <math>M</math> 上の'''CR構造'''という．

<math>L</math> の階数 <math>{\rm rank}_{\mathbb{C}} \, L</math> を'''CR次元,'''  <math> \dim M - 2 \; {\rm rank}_{\mathbb{C}} \, L</math> を'''CR余次元'''という．

CR余次元が1のとき, <math>(M, L)</math> は'''超曲面型'''(hypersurface type)であるという.

== 例 ==

== 擬凸性 ==

===レヴィ形式===
<math>M</math> を超曲面型のCR多様体とする．'''レヴィ形式''' <math>h</math> は，[[ラインバンドル|直線束]]
:<math>V = \frac{TM\otimes{\mathbb C}}{L\oplus\bar{L}}</math>
に値を持つ <math>L</math> 上で定義された{{仮リンク|ベクトル値形式|en|vector valued form}}(vector valued form)で，
:<math>h(v,w) := \frac{1}{2i}[v,\bar{w}] \mod L\oplus\bar{L},\quad v,w\in L</math>
により与えられる．<math>h</math> は，可積分条件により，<math>v</math> と <math>w</math> が <math>L</math>  の切断へどのように拡張するかには依存せず，<math>L</math> 上の[[半双線型形式]]を定義する．この形式 <math>h</math> は，同じ形で束 <math>L\oplus\bar{L}</math> 上の[[エルミート形式]]へ拡張できる．この拡張された形式も，レヴィ形式と呼ばれることもある。

代わりに，レヴィ形式は双対性の言葉で特徴付けることもできる．''V'' を消滅させる複素[[余接バンドル|余接束]]の部分[[直線束]]を考えると，
:<math>H_0M = V^* = (L\oplus\bar{L})^\perp\sub T^*M\otimes{\mathbb C}</math>
となる．各々の切断 α∈Γ(''H<sub>0</sub> M'' ) に対し，
:<math>h_\alpha(v,w) = d\alpha(v,\bar{w}) = -\alpha([v,\bar{w}]),\quad v,w\in L\oplus\bar{L}.</math>
とする．形式 ''h''<sub>α</sub> は α を伴う複素数値エルミート形式である．

多様体が超曲面型でない場合も，レヴィ形式の一般化が存在する．ただし，この場合，値は[[直線束]]でなく，[[ベクトル束]]となる．よって，レヴィ形式ではなく，構造のレヴィ形式の集まりという。

超曲面型の抽象的CR多様体について，レヴィ形式はその上に擬[[エルミート計量]]を与える．この計量は，正則接ベクトル上で定義されているだけでなく，退化している．

=== 強擬凸, 擬凸, レヴィ平坦 ===
<math>M</math> が超曲面型の CR 多様体で単一の函数 <math>F = 0</math> で定義されているとする．このとき，<math>M</math> の'''レヴィ形式'''({{仮リンク|エフゲニオ・エリア・レヴィ|en|Eugenio Elia Levi}}(Eugenio Elia Levi)の名に因む)とは<ref>See {{harv|Levi|909|p=207}}: the Levi form is the [[differential form]] associated to the [[differential operator]] ''C'', according to Levi's notation.</ref>、[[エルミート計量|エルミート 2-形式]]
:<math>h=i\partial\bar{\partial}F|_L</math>
のことを指す．レヴィ形式は <math>L</math> 上の計量を定める．<math>M</math> は，<math>h</math> が正定値であるとき，'''強擬凸'''(strictly pseudoconvex)と呼ばれ，<math>h</math> が半正定値のときは'''擬凸'''(pseudoconvex)と呼ばれる．CR多様体の理論の解析的な存在性と一意性の結果の多くは，レヴィ形式の強擬凸性によるものである．

この命名は[[擬凸性|擬凸領域]]の研究から来ている: <math>M</math> が <math>\mathbb{C}^{n}</math> 内の(強)擬凸領域の境界であることと，CR多様体として(強)擬凸であることは同値である．

== その他の話題 ==

===接コーシー・リーマン作用素と接コーシー・リーマン複体===
まず，'''接コーシー・リーマン作用素''' <math>\overline{\partial}_{b}</math> を定義しよう．[[複素多様体]]の境界として実現されるCR多様体について，この作用素は <math>\overline{\partial}</math> の境界制限とみなすことができる．また，一般のCR多様体について(複素多様体の境界として実現されない場合も含めて)，定義することができる．これは Webster 接続を用いて記述される．作用素 <math>\overline{\partial}_{b}</math> は[[鎖複体|複体]]をなす，すなわち，<math>\overline{\partial}_{b} \circ \overline{\partial}_{b} = 0</math> が成立する．この[[鎖複体|複体]]のことを'''接コーシー・リーマン複体'''，あるいは，コーン・ロッシ複体という．この複体とそのコホモロジー群についての基本的な文献として，Joseph. J. Kohn と Hugo Rossi によるものが挙げられる.<ref>Kohn, Joseph J. and Rossi, Hugo (1965). “On the Extension of   Holomorphic functions from the boundary of Complex Manifolds". ''Annals of Math''. '''81''': 451--472. doi: 10.2307/1970624.</ref>

==== CR関数 ====
作用素 <math>\overline{\partial}_{b}</math> により消える関数を'''CR関数'''といい，正則関数の[[アナロジー]]になっている．また，CR関数の実部を'''CR多重調和関数'''という．

==== コーンラプラシアン ====
接コーシー・リーマン複体に付随して，CR幾何学と[[多変数複素関数|多変数複素解析学]]において基本的な対象となる'''コーンラプラシアン''' <math>\Box_{b}</math> が次で定義される:

<math>\Box_{b} := \overline{\partial}_{b} \overline{\partial}_{b}^{*} + \overline{\partial}_{b}^{*} \overline{\partial}_{b} </math>

ここで，<math>\overline{\partial}_{b}^{*}</math> は <math>\overline{\partial}_{b}</math> の<math>L^{2}(M)</math> についての形式的共役を表すとする([[体積形式]]は，CR構造に付随する[[接触形式]]から誘導されるものとする)．作用素 <math>\Box_{b}</math> は，非負[[自己共役作用素|自己共役]]である．[[コンパクト空間|コンパクト]]な強擬凸CR多様体について，作用素 <math>\Box_{b}</math> は正の離散[[固有値]]をもつ．その[[核空間]]は，CR関数から構成されるため，無限次元である．もし，作用素 <math>\Box_{b}</math> の正の固有値全体が正定数により下から抑えられていた場合，閉[[値域]]をもつ．

==== 具体例 ====
具体例として，[[ハイゼンベルク群]](Heisenberg group)の作用素 <math>\overline{\partial}_{b}</math> を考察してみよう．通常のハイゼンベルク群 <math>\mathbb{C}^{n} \times \mathbb{R}</math> について，その上の左不変な正則ベクトル場

<math>L_{j} := \frac{\partial}{\partial z_{j}} + i \overline{z}_{j} \frac{\partial}{\partial t}
 (j = 1,2,\dotsm,n)</math>

を考える．ここで，<math>(z_{1},z_{2},\dotsm,z_{n}) \in \mathbb{C}^{n}, t \in \mathbb{R}</math> とする．このとき，関数 <math>u</math> ''について，''

<math>\overline{\partial}_{b} u = \sum_{j = 1}^{n} \overline{L}_{j} u \; d\overline{z}_{j}</math>

が成立する．ここで，<math>\overline{L}_{j}</math> は <math>L_{j}</math> の[[複素共役]]を表すとする．関数については <math>\overline{\partial}_{b}^{*}</math> は 0 であるから，ハイゼンベルク群における関数についてのコーンラプラシアンは次で与えられる:

<math>\Box_{b} = - \sum_{j = 1}^{n} L_{j} \overline{L}_{j}.</math>

さて，次の交換子の計算に注意する:

<math>[L_{j}, \overline{L}_{j}] = - 2iT.</math>

ただし，<math>T := \frac{\partial}{\partial t}</math> とする. 上の等式を用いれば，簡単な計算によって，コーンラプラシアンが次のように書き換えられることがわかる:

<math>\Box_{b} = - \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{n} (L_{j} \overline{L}_{j} + \overline{L}_{j} L_{j}) + i n T.</math>

右辺の1番目の項は，実作用素である(実際に，コーンラプラシアンの実部となっている)．これを'''サブラプラシアン'''といい，<math>\Delta_{b}</math> で表すことが多い．部分積分から，非負であることがすぐにわかる．このとき，<math>\Box_{b} = \Delta_{b} + inT</math> と表すこともできる．

=== CR埋め込み問題 ===
CR幾何学の基本的な問題のひとつとして，与えられたCR多様体が，[[複素数空間]]の実部分多様体として実現できるかという問題('''CR'''[[埋め込み (数学)|埋め込み]]'''問題''')がある．

大域的なCR埋め込み問題について，実5次元以上の[[コンパクト空間|コンパクト]]な強擬凸CR多様体については，Louis Botet de Monvel により肯定的に解決された．

実3次元の場合は，反例が存在する: 3次元球面 <math>S^{3}</math> の自然なCR構造を摂動したものは大域的に埋め込むことができない．この例は，Rossi の例と呼ばれる(実際には, Hans Grauert により構成された).

局所的なCR埋め込み問題について，実3次元の場合には， Louis Nirenberg による反例が存在する．実7次元以上の場合は，[[倉西正武]](実9次元以上の場合)と[[赤堀隆夫]](実7次元の場合)により肯定的に解決された．

実5次元の場合の局所的なCR埋め込み問題は，未解決である． 
==関連項目==
*{{仮リンク|エフゲニオ・エリア・レヴィ|en|Eugenio Elia Levi}}(Eugenio Elia Levi)
*[[擬凸性]]

==脚注==
{{reflist|30em}}

==参考文献==
*{{Citation
  | last = Levi
  | first = Eugenio Elia
  | author-link = Eugenio Elia Levi
  | title = Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse 
  | language = Italian
  | journal = [http://www.springerlink.com/content/108198/?p=723d441f3aee4d4bb65e370e90b9c567&pi=0 Annali di Matematica Pura e Applicata]
  | series = s. III,
  | volume = XVII
  | issue = 1
  | pages = 61–87
  | year = 1910
  | url = http://www.springerlink.com/content/yr0150m4tq64j465/
  | doi = 10.1007/BF02419336
  | id = 
  | jfm = 41.0487.01
}}. An important paper in the [[Several complex variables|theory of functions of several complex variables]]. An English translation of the title reads as:-"''studies on essential singular points of analytic functions of two or more complex variables''".
* {{cite book|first=Albert|last=Boggess|title=CR Manifolds and the Tangential Cauchy Riemann Complex|publisher=CRC Press|year=1991}}
* {{cite journal|author=Hill, D. and Nacinovich, M.|url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASNSP_1995_4_22_2_315_0|title=Duality and distribution cohomology of CR manifolds|journal=Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa|volume=22|issue=2|year=1995|pages=315–339}}
* {{cite journal|author=Chern S. S. and Moser, J.K.|title=Real hypersurfaces in complex manifolds|journal=Acta Math.|volume=133|pages=219–271|year=1974|doi=10.1007/BF02392146}}
* {{cite journal|author=Harvey, F.R. and Lawson, H.B., Jr.|title=On boundaries of complex analytic varieties|journal=Ann. Math.|year=1978|pages=223–290|volume=102|doi=10.2307/1971032|issue=2|jstor=1971032}}

{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:CRしいああるたようたい}}
[[Category:微分可能多様体]]
[[Category:多様体論]]
[[Category:数学に関する記事]]