CR多様体

数学において、CR多様体（CRたようたい、テンプレート:Lang-en-short）とは，微分可能多様体で，複素数空間の中の実超曲面の幾何構造をモデル化したものである．

CR は，コーシー・リーマン，あるいは，複素 (Complex)・実 (Real)^[1] の省略形である．

導入

CR多様体のモデルは複素数空間 $ℂ^{n}$ 内の領域の滑らかな境界である.

領域 $Ω \subset ℂ^{n}$ の滑らかな境界 $M$ について, 次で定義されるテンプレート:仮リンク(complexified)された接束 $ℂ T M = T M \otimes ℂ$ の部分ベクトル束 $L$ を考えよう:

$L : = ℂ T M \cap T^{1, 0} ℂ^{n} .$

ここで, $T^{1, 0} ℂ^{n}$ は $ℂ^{n}$ の正則接束を表すとする. このとき, $L$ は次を満たす:

$[L, L] \subset L$ ,
$L \cap \overline{L} = {0}$ .

ただし, $\overline{L}$ は $L$ の複素共役とする.

定義

CR多様体とは，微分可能多様体 $M$ とその上のテンプレート:仮リンク(complexified)された接束 $ℂ T M = T M \otimes ℂ$ の部分ベクトル束 $L$ で次の条件を満たすものの組 $(M, L)$ のことである:

$[L, L] \subset L$ ( $L$ は可積分(integrable)である ),
$L \cap \bar{L} = {0}$ .

ここで, $\overline{L}$ は $L$ の複素共役とする. このとき，ベクトル束 $L$ を多様体 $M$ 上のCR構造という．

$L$ の階数 ${r a n k}_{ℂ} L$ をCR次元, $\dim M - 2 {r a n k}_{ℂ} L$ をCR余次元という．

CR余次元が1のとき, $(M, L)$ は超曲面型(hypersurface type)であるという.

例

擬凸性

レヴィ形式

$M$ を超曲面型のCR多様体とする．レヴィ形式 $h$ は，直線束

V = \frac{T M \otimes ℂ}{L \oplus \bar{L}}

に値を持つ $L$ 上で定義されたテンプレート:仮リンク(vector valued form)で，

h (v, w) : = \frac{1}{2 i} [v, \bar{w}] mod L \oplus \bar{L}, v, w \in L

により与えられる． $h$ は，可積分条件により， $v$ と $w$ が $L$ の切断へどのように拡張するかには依存せず， $L$ 上の半双線型形式を定義する．この形式 $h$ は，同じ形で束 $L \oplus \bar{L}$ 上のエルミート形式へ拡張できる．この拡張された形式も，レヴィ形式と呼ばれることもある。

代わりに，レヴィ形式は双対性の言葉で特徴付けることもできる．V を消滅させる複素余接束の部分直線束を考えると，

H_{0} M = V^{*} = (L \oplus \bar{L})^{⊥} \subset T^{*} M \otimes ℂ

となる．各々の切断 α∈Γ(H₀ M ) に対し，

h_{α} (v, w) = d α (v, \bar{w}) = - α ([v, \bar{w}]), v, w \in L \oplus \bar{L} .

とする．形式 h_α は α を伴う複素数値エルミート形式である．

多様体が超曲面型でない場合も，レヴィ形式の一般化が存在する．ただし，この場合，値は直線束でなく，ベクトル束となる．よって，レヴィ形式ではなく，構造のレヴィ形式の集まりという。

超曲面型の抽象的CR多様体について，レヴィ形式はその上に擬エルミート計量を与える．この計量は，正則接ベクトル上で定義されているだけでなく，退化している．

強擬凸, 擬凸, レヴィ平坦

$M$ が超曲面型の CR 多様体で単一の函数 $F = 0$ で定義されているとする．このとき， $M$ のレヴィ形式(テンプレート:仮リンク(Eugenio Elia Levi)の名に因む)とは^[2]、エルミート 2-形式

h = i \partial \bar{\partial} F |_{L}

のことを指す．レヴィ形式は $L$ 上の計量を定める． $M$ は， $h$ が正定値であるとき，強擬凸(strictly pseudoconvex)と呼ばれ， $h$ が半正定値のときは擬凸(pseudoconvex)と呼ばれる．CR多様体の理論の解析的な存在性と一意性の結果の多くは，レヴィ形式の強擬凸性によるものである．

この命名は擬凸領域の研究から来ている: $M$ が $ℂ^{n}$ 内の(強)擬凸領域の境界であることと，CR多様体として(強)擬凸であることは同値である．

その他の話題

接コーシー・リーマン作用素と接コーシー・リーマン複体

まず，接コーシー・リーマン作用素 ${\overline{\partial}}_{b}$ を定義しよう．複素多様体の境界として実現されるCR多様体について，この作用素は $\overline{\partial}$ の境界制限とみなすことができる．また，一般のCR多様体について(複素多様体の境界として実現されない場合も含めて)，定義することができる．これは Webster 接続を用いて記述される．作用素 ${\overline{\partial}}_{b}$ は複体をなす，すなわち， ${\overline{\partial}}_{b} \circ {\overline{\partial}}_{b} = 0$ が成立する．この複体のことを接コーシー・リーマン複体，あるいは，コーン・ロッシ複体という．この複体とそのコホモロジー群についての基本的な文献として，Joseph. J. Kohn と Hugo Rossi によるものが挙げられる.^[3]

CR関数

作用素 ${\overline{\partial}}_{b}$ により消える関数をCR関数といい，正則関数のアナロジーになっている．また，CR関数の実部をCR多重調和関数という．

コーンラプラシアン

接コーシー・リーマン複体に付随して，CR幾何学と多変数複素解析学において基本的な対象となるコーンラプラシアン $◻_{b}$ が次で定義される:

$◻_{b} : = {\overline{\partial}}_{b} {\overline{\partial}}_{b}^{*} + {\overline{\partial}}_{b}^{*} {\overline{\partial}}_{b}$

ここで， ${\overline{\partial}}_{b}^{*}$ は ${\overline{\partial}}_{b}$ の $L^{2} (M)$ についての形式的共役を表すとする(体積形式は，CR構造に付随する接触形式から誘導されるものとする)．作用素 $◻_{b}$ は，非負自己共役である．コンパクトな強擬凸CR多様体について，作用素 $◻_{b}$ は正の離散固有値をもつ．その核空間は，CR関数から構成されるため，無限次元である．もし，作用素 $◻_{b}$ の正の固有値全体が正定数により下から抑えられていた場合，閉値域をもつ．

具体例

具体例として，ハイゼンベルク群(Heisenberg group)の作用素 ${\overline{\partial}}_{b}$ を考察してみよう．通常のハイゼンベルク群 $ℂ^{n} \times ℝ$ について，その上の左不変な正則ベクトル場

$L_{j} : = \frac{\partial}{\partial z_{j}} + i {\overline{z}}_{j} \frac{\partial}{\partial t} (j = 1, 2, \dots, n)$

を考える．ここで， $(z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}) \in ℂ^{n}, t \in ℝ$ とする．このとき，関数 $u$ について，

${\overline{\partial}}_{b} u = \sum_{j = 1}^{n} {\overline{L}}_{j} u d {\overline{z}}_{j}$

が成立する．ここで， ${\overline{L}}_{j}$ は $L_{j}$ の複素共役を表すとする．関数については ${\overline{\partial}}_{b}^{*}$ は 0 であるから，ハイゼンベルク群における関数についてのコーンラプラシアンは次で与えられる:

$◻_{b} = - \sum_{j = 1}^{n} L_{j} {\overline{L}}_{j} .$

さて，次の交換子の計算に注意する:

$[L_{j}, {\overline{L}}_{j}] = - 2 i T .$

ただし， $T : = \frac{\partial}{\partial t}$ とする. 上の等式を用いれば，簡単な計算によって，コーンラプラシアンが次のように書き換えられることがわかる:

$◻_{b} = - \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{n} (L_{j} {\overline{L}}_{j} + {\overline{L}}_{j} L_{j}) + i n T .$

右辺の1番目の項は，実作用素である(実際に，コーンラプラシアンの実部となっている)．これをサブラプラシアンといい， $Δ_{b}$ で表すことが多い．部分積分から，非負であることがすぐにわかる．このとき， $◻_{b} = Δ_{b} + i n T$ と表すこともできる．

CR埋め込み問題

CR幾何学の基本的な問題のひとつとして，与えられたCR多様体が，複素数空間の実部分多様体として実現できるかという問題(CR埋め込み問題)がある．

大域的なCR埋め込み問題について，実5次元以上のコンパクトな強擬凸CR多様体については，Louis Botet de Monvel により肯定的に解決された．

実3次元の場合は，反例が存在する: 3次元球面 $S^{3}$ の自然なCR構造を摂動したものは大域的に埋め込むことができない．この例は，Rossi の例と呼ばれる(実際には, Hans Grauert により構成された).

局所的なCR埋め込み問題について，実3次元の場合には， Louis Nirenberg による反例が存在する．実7次元以上の場合は，倉西正武(実9次元以上の場合)と赤堀隆夫(実7次元の場合)により肯定的に解決された．

実5次元の場合の局所的なCR埋め込み問題は，未解決である．

脚注

テンプレート:Reflist

参考文献

テンプレート:Citation. An important paper in the theory of functions of several complex variables. An English translation of the title reads as:-"studies on essential singular points of analytic functions of two or more complex variables".
テンプレート:Cite book
テンプレート:Cite journal
テンプレート:Cite journal
テンプレート:Cite journal

テンプレート:Normdaten

↑ https://secure.msri.org/calendar/sgw/WorkshopInfo/434/show_sgw
↑ See テンプレート:Harv: the Levi form is the differential form associated to the differential operator C, according to Levi's notation.
↑ Kohn, Joseph J. and Rossi, Hugo (1965). “On the Extension of Holomorphic functions from the boundary of Complex Manifolds". Annals of Math. 81: 451--472. doi: 10.2307/1970624.

[1] ttps://secure.msri.org/calendar/sgw/WorkshopInfo/434/show_sgw

[2] See テンプレート:Harv: the Levi form is the differential form associated to the differential operator C, according to Levi's notation.

[3] Kohn, Joseph J. and Rossi, Hugo (1965). “On the Extension of Holomorphic functions from the boundary of Complex Manifolds". Annals of Math. 81: 451--472. doi: 10.2307/1970624.

[1]

[2]

[3]

CR多様体

目次

導入

定義

例

擬凸性

レヴィ形式

強擬凸, 擬凸, レヴィ平坦

その他の話題

接コーシー・リーマン作用素と接コーシー・リーマン複体

CR関数

コーンラプラシアン

具体例

CR埋め込み問題

関連項目

脚注

参考文献

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CR多様体

導入

定義

例

擬凸性

レヴィ形式

強擬凸, 擬凸, レヴィ平坦

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