E進法のソースを表示

{{小文字}}
{{参照方法|date=2020年3月14日 (土) 05:50 (UTC)}}
''' ''e'' 進法'''とは、[[広義の記数法|記数法]]の底に自然対数の底（[[ネイピア数]]<math>e</math>）を使った記数法である。（実用的ではないが）'''ある仮定の下で'''最も経済的である、という特徴がある。

==  ''e'' 進法が最も経済的な記数法であることの証明 ==
数を <math>x</math> ( <math>x>0, x \in \mathbb{R}</math> )[[進法]]で表すとしたとき，<br />
この数一[[桁]]を表すのに <math>x</math> 個の記憶素子が要求されるものと仮定する。このとき、<math>n</math> ( <math>n</math> は[[定数]])桁の数を表すのに必要な記憶素子の数 <math>N(x)</math> は，

<math>N(x) = nx</math>

と表せる．<br />
また， <math>x</math> 進法で表された <math>n</math> 桁の数の情報量 <math>I</math> ( <math>I</math> は定数， <math>I>x</math> )について，

<math>I = x^n \Leftrightarrow n = \log_{x}I = \frac{\ln I}{\ln x}</math>

従って， <math>I</math> の情報量を <math>x</math> 進法の <math>n</math> 桁で表すのに必要な記憶素子の数 <math>N(x)</math> は，

<math>N(x) = nx = \ln I \cdot \frac{x}{\ln x}</math>

ここで，

<math>
\begin{cases} 
N^{\prime}(x) <0 & 0<x<1 \\
N^{\prime}(x) >0 &x>1
\end{cases}
</math>

より， <math>N(x)</math> を最小にする <math>x</math> の値を求めるには， <math>N(x)</math> の[[微分係数]]が0となるような <math>x</math> の値を求めれば良い．

<math>
\begin{align}
N^\prime(x) & = \ln I \cdot \left( \frac{x}{\ln x} \right)^\prime \\
 & = \ln I \cdot \frac{\ln x - 1}{\left( \ln x \right)^2} \\
\end{align}
</math>

<math>\ln x = 1</math> のとき，<math>N^\prime(x) = 0</math> であるので，

<math>x = e</math>

以上より最も高効率な記数法は <math>e</math> 進法である．
<!--
== ''e'' 進法の有用性 ==
<math>e \simeq 2.71828 \simeq 3</math> であるので，現実的には[[三進法]]が最も高効率な[[自然数]]の[[位取り記数法]]である．

今日，日常で使用される位取り記数法は[[二進法]]や[[十進法]]，[[六十進法]]が一般的だが，これらは，[[電流]]を通すか通さないかの '''''2 '''''通りの状態を示す[[半導体]]の性質や[[人間]]の[[手]]の[[指]]が計 '''''10 '''''本あること， '''''60 '''''が1～6の全ての自然数を約数にもつ[[高度合成数]]であること等に由来する．

ここで，人間の手を例にとると，ある指を指を完全に曲げ，[[掌]]に入れ込んだ状態を '''0 '''，[[関節]]を少し屈折させ，指をかぎ状に曲げた状態を '''1 '''，完全に伸ばした状態を '''2 '''，とおけば，指一本の三つの状態を[[基数]]とした三進法で表せる．

通常の十進法では両手を使っても1～10までしか数え上げることは出来ないが，上記の方法では1～[[59048]]までの実に6万通り近くの数を両手を用いて数え上げることが出来る．
--><!-- 単に 3^10 まで表現できるという話でしかなく、指の曲げ具合を4通りにすれば4^10で100万を越える。これっぽっちも「''e'' 進法の有用性」の説明にはなっていない。-->

== 参考文献 ==
* [[伊東規之]]『マイクロコンピュータの基礎』日本理工出版会
* [[桜井進]]『超・超面白くて眠れなくなる数学』PHP研究所

== 関連項目 ==
* [[ネイピア数]]
* [[広義の記数法]]
* [[三進法]]

{{デフォルトソート:いいしんほう}}
[[Category:数学に関する記事|eいいしんほう]]
[[Category:数の表現]]
[[Category:広義の記数法]]