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'''ハミルトニアン平均場モデル'''または'''HMFモデル'''{{Sfn|後藤|山口|2005|p=1}} ({{lang-en-short|Hamiltonian Mean Field model, HMF model}}) とは、[[物理学]]において[[多体系]]の研究に用いられる模型のひとつである。[[重力多体系]]を単純化した模型として[[宇宙物理学]]の観点から、また[[長距離相互作用]]のある系として[[統計力学]]の観点から研究されてきた。1次元系であるにもかかわらず[[相転移]]が起こる{{Sfn|Levin et al.|2014|p=36}}ほか、violent relaxation、長期的に持続する metaequilibrium state、ゆっくりとした衝突緩和といった長距離相互作用系の興味深い性質を備えている{{Sfn|Chavanis|Vatteville|Bouchet|2005|p=62}}。

== 定義 ==
HMF モデルは1次元 <math>N</math> 粒子系のモデルであり、<math>\theta_i</math>, <math>p_i</math> をそれぞれ <math>i</math> 番目の粒子の座標および運動量として、HMF モデルの[[ハミルトニアン]]は
{{Indent|<math>H = \sum_{i = 1}^N \frac{ p_i^2 }{ 2 } + \frac{ J }{ 2 N } \sum_{i, j = 1}^N \left[ 1 - \cos ( \theta_i - \theta_j ) \right]</math>}}
により与えられる{{Sfn|Levin et al.|2014|p=36}}{{Sfn|Campa|Dauxois|Ruffo|2009|pp=87-88}}。ただし座標 <math>\theta_i</math> は <math>\theta_i + 2 \pi</math> と <math>\theta_i</math> を同一視する。相互作用は <math>J> 0</math> のとき引力（[[強磁性]]）、<math>J< 0</math> のとき斥力（[[反強磁性]]）である{{Sfn|Levin et al.|2014|p=36}}{{Sfn|Campa|Dauxois|Ruffo|2009|p=88}}。ただし反強磁性モデルは一様な状態がすべてのエネルギーで安定であり相転移が起きない{{Sfn|Campa|Dauxois|Ruffo|2009|p=88}}ため、以下では強磁性モデル (<math>J > 0</math>) について記述する。

しばしば[[秩序変数]]として1粒子あたりの[[磁化]]
{{Indent|<math>M_x = \frac{ 1 }{ N } \sum_{i = 1}^N \cos \theta_i , \ \ M_y = \frac{ 1 }{ N } \sum_{i = 1}^N \sin \theta_i</math>}}
が導入される{{Sfn|Levin et al.|2014|p=37}}{{Sfn|Campa|Dauxois|Ruffo|2009|p=88}}{{Sfn|Antoni|Ruffo|1995|p=2361}}。これを用いると HMF モデルのハミルトニアンは
{{Indent|<math>H = \sum_{i = 1}^N \frac{ p_i^2 }{ 2 } + \frac{ N J }{ 2 } ( 1 - M^2 )</math>}}
とも表せる{{Sfn|Campa|Dauxois|Ruffo|2009|p=88}}。

== 他の系との関係 ==
[[統計力学]]において研究される[[XY模型]]は、各格子点の[[スピン角運動量|スピン]]が2次元の単位ベクトル <math>s = ( \cos \theta_i, \sin \theta_i )</math> により表される模型であり、そのハミルトニアンは
{{Indent|<math>H = - J \sum_{\langle i, j \rangle} \cos ( \theta_i - \theta_j )</math>}}
により与えられる<ref>{{Cite book |和書 |author=西森秀稔 |authorlink=西森秀稔 |title=相転移・臨界現象の統計物理学 |series=新物理学シリーズ |volume=35 |publisher=培風館 |date=2005 |isbn=978-4-563-02435-2 |page=16}}</ref>。ここに <math>\langle i, j \rangle</math> は最近接格子の組に関する和であり、XY 模型では各スピンは最近接格子（1次元ならば隣接する2点）のスピンとのみ相互作用する。HMF モデルはその逆に各スピンが他のすべてのスピンと同じ強さで相互作用する（[[平均場近似]]）ものである{{Sfn|Campa|Dauxois|Ruffo|2009|p=88}}{{Sfn|Antoni|Ruffo|1995|p=2361}}{{Sfn|後藤|山口|2005|p=1}}。

HMF モデルは1次元重力多体系において[[重力ポテンシャル]]の[[フーリエ級数]]表示を最低次で打ち切ったものに一致する{{Sfn|Levin et al.|2014|p=36}}。すなわち、<math>N</math> 個の粒子の座標を <math>\theta_i</math> とするとき、その系の[[重力ポテンシャル]] <math>\psi</math> は[[ポアソン方程式]]
{{Indent|<math>\nabla^2 \psi ( \theta ) = \frac{ k }{ 2 } \sum_{i = 1}^N \left[ \delta ( \theta - \theta_i ) - \frac{ 1 }{ 2 \pi } \right]</math>}}
により定まる（<math>k</math> は定数、<math>\delta ( x )</math> はディラックの[[デルタ関数]]）{{Sfn|Levin et al.|2014|p=36}}。その解を[[フーリエ級数]]の形
{{Indent|<math>\psi ( \theta ) = \frac{ k }{ 2 } \sum_{i = 1}^N \sum_{n = 1}^\infty \frac{ 1 - \cos n ( \theta - \theta_i ) }{ \pi n^2 }</math>}}
に表示するとき、最低次の <math>n = 1</math> の項のみを残す近似が HMF モデルである{{Sfn|Levin et al.|2014|p=36}}。<math>\theta_i = \theta_j</math> での特異性を持たず系のサイズが有限であるため、HMF モデルは重力多体系特有の困難のないごく単純化した模型とみなすことができる{{Sfn|稲垣|1993|pp=137-138}}。

== 熱力学的性質 ==
[[熱力学]]極限（粒子数 <math>N \to \infty</math> の極限）で系の統計分布は一体分布関数で記述できるようになる{{Sfn|Chavanis|Vatteville|Bouchet|2005|pp=64-65}}。この1体分布関数は、粒子密度
{{Indent|<math>\rho = A e^{\beta \cos \theta}</math>}}
（<math>A</math>, <math>B</math> は定数）を導き、<math>B = 0</math> ならば粒子は一様に分布し、<math>B \neq 0</math> ならばクラスターを形成する{{Sfn|Chavanis|Vatteville|Bouchet|2005|p=65}}。定数 <math>B</math> は[[セルフコンシステント]]条件
{{Indent|<math>B = \frac{ J }{ 2 } \frac{ I_1 ( \beta B ) }{ I_0 ( \beta B ) }</math>}}
（<math>I_n</math> は修正[[ベッセル関数]]）を満足し、これが非自明解 <math>B \neq 0</math> を持つ条件が
{{Indent|<math>T < T_c := \frac{ J }{ 2 }</math>}}
と求まる{{Sfn|Chavanis|Vatteville|Bouchet|2005|p=65}}。すなわち、温度 <math>T_c</math> より低温のときにのみ熱平衡状態としてクラスター状態が可能である{{Sfn|Chavanis|Vatteville|Bouchet|2005|p=65}}。そして熱力学的安定性の要求から、低温側ではクラスター状態が安定であり、一方高温側では一様状態が安定であることが結論される{{Sfn|Chavanis|Vatteville|Bouchet|2005|p=68}}。この転移は2次相転移である{{Sfn|Chavanis|Vatteville|Bouchet|2005|p=65}}。

あるいは、この結果は以下の[[統計力学]]的な考察に基づいて導出することもできる。一般に長距離相互作用する系では[[ミクロカノニカルアンサンブル]]と[[正準集団|カノニカルアンサンブル]]が等価ではなく異なる結果を導く可能性があるが、HMF モデルの場合には両者は等価である{{Sfn|Campa|Dauxois|Ruffo|2009|p=89}}。その1粒子あたりの自由エネルギー <math>\phi ( \beta )</math> (<math>\beta</math> は[[逆温度]]) は、極限 <math>N \to \infty</math> に対して
{{Indent|<math>\phi ( \beta ) = \frac{ \beta }{ 2 } - \frac{ 1 }{ 2 } \ln 2 \pi + \frac{ 1 }{ 2 } \ln \beta + \inf_{x \geq 0} \left[ \frac{ \beta x^2 }{ 2 } - \ln I_0 ( \beta x )\right]</math>}}
と求まる（適当な規格化を施した）{{Sfn|Campa|Dauxois|Ruffo|2009|p=88}}。自由エネルギーの極値条件として方程式
{{Indent|<math>x = \frac{ I_1 ( x ) }{ I_0 ( x ) }</math>}}
が非自明解を持つか、という条件が得られ、上の考察が再現される{{Sfn|Campa|Dauxois|Ruffo|2009|pp=88-89}}。短距離相互作用する1次元系では[[自発的対称性の破れ]]による相転移が起きないことが保証されており（{{仮リンク|マーミン・ワグナーの定理|en|Mermin–Wagner theorem}}）、この結果は HMF モデルの熱力学的性質において長距離相互作用が本質的であることを示している{{Sfn|Levin et al.|2014|p=36}}。

== 歴史 ==
HMF モデルの原型となるモデルは1992年に小西哲郎と金子邦彦によって導入された<ref name="KonishiKaneko1992">{{Cite journal |last1=Konishi |first1=Tetsuro |last2=Kaneko |first2=Kunihiko |title=Clustered motion in symplectic coupled map systems |journal=Journal of Physics A: Mathematical and General |date=1992 |volume=25 |issue=23 |pages=6283-6296 |bibcode=1992JPhA...25.6283K |doi=10.1088/0305-4470/25/23/023 |ref=harv}}</ref>{{Sfn|Chavanis|Vatteville|Bouchet|2005|p=61}}。彼らは非線型力学（[[カオス理論]]）の観点からこの模型に興味を持ち、ある離散的なシンプレクティック写像の反復により粒子群がクラスターを形成し有限時間の後にクラスターが散開することを観察した<ref name="KonishiKaneko1992"/>。1993年に稲垣省五と小西はその連続時間における対応物について[[運動論的方程式]]を用いて研究した<ref name="InagakiKonishi1993">{{Cite journal |last1=Inagaki |first1=Shogo |last2=Konishi |first2=Tetsuro |title=Dynamical Stability of a Simple Model Similar to Self-Gravitating Systems |journal=Publications of the Astronomical Society of Japan |date=1993 |volume=43 |pages=733-735 |bibcode=1993PASJ...45..733I}}</ref>が、これが現在 HMF モデルとして知られているものである。また稲垣と小西はこのモデルにおけるクラスターの形成過程は自己重力系の[[ジーンズ不安定性]]に相当する不安定性によるものであると指摘した。続く論文で稲垣は HMF モデルの熱平衡状態の熱力学的安定性を論じ<ref name="Inagaki1993">{{Cite journal |last1=Inagaki |first1=S. |title=Thermodynamic Stability of Modified Konishi-Kaneko System |journal=Progress of Theoretical Physics |volume=90 |issue=3 |year=1993 |pages=577–584 |issn=0033-068X |doi=10.1143/ptp/90.3.577 |bibcode=1993PThPh..90..577I}}</ref>、1996年には運動学的方程式を用いて HMF モデルのボルツマン[[エントロピー]]が減少しないことを示した<ref name="Inagaki1996">{{cite journal |last1=Inagaki|first1=S. |title=Kinetic Equation for the Modified Konishi-Kaneko System| journal=Progress of Theoretical Physics |volume=96 |issue=6|year=1996|pages=1307–1309|issn=0033-068X |doi=10.1143/PTP.96.1307 |bibcode=1996PThPh..96.1307I }}</ref>。なお稲垣はこの模型を modified Konishi-Kaneko model と呼称している<ref name="Inagaki1993"/>{{Sfn|稲垣|1993}}。同時期に Christophe Pichon と[[ドナルド・リンデン＝ベル]]は[[棒渦巻銀河]]におけるバー構造の観点から同じ模型について調べていた{{Sfn|Chavanis|Vatteville|Bouchet|2005|p=62}}。

1995年に Antoni & Ruffo は[[強磁性]]体の統計力学の文脈で、[[XY模型]]の平均場長距離相互作用の極限に相当するモデルについて研究し、それを Hamiltonian mean-field ''X''-''Y'' model と命名した{{Sfn|Antoni|Ruffo|1995|p=2361}}。またその論文の中でこの模型が稲垣、小西らによって既に調べられていたものと同じものであると指摘している{{Sfn|Antoni|Ruffo|1995|p=2362}}。Dauxios らは2002年に HMF モデルの相転移の性質についてより詳しく調べている<ref name="DauxoisLatora2002">{{cite journal |last1=Dauxois|first1=Thierry |last2=Latora|first2=Vito|last3=Rapisarda |first3=Andrea|last4=Ruffo |first4=Stefano|last5=Torcini|first5=Alessandro|title=The Hamiltonian Mean Field Model: From Dynamics to Statistical Mechanics and Back |volume=602 |year=2002 |pages=458–487 |issn=0075-8450 |doi=10.1007/3-540-45835-2_16 |arxiv=cond-mat/0208456 |bibcode=2002LNP...602..458D }}</ref>。なお結合定数が <math>1 / N</math> に比例してスケールするのではない場合、熱力学極限でエネルギーの[[示量性と示強性|示量性]]が成立せず熱力学的振る舞いが異なるが、この場合の HMF モデルの熱力学については Tamarit & Anteneodo (2000), Toral (2004) らによって調べられた{{Sfn|Campa|Dauxois|Ruffo|2009|p=89}}<ref name="TamaritAnteneodo2000">{{cite journal |last1=Tamarit|first1=Francisco |last2=Anteneodo |first2=Celia |title=Rotators with Long-Range Interactions: Connection with the Mean-Field Approximation |journal=Physical Review Letters |volume=84|issue=2|year=2000|pages=208–211|issn=0031-9007 |doi=10.1103/PhysRevLett.84.208 |arxiv=cond-mat/9911030
 |bibcode=2000PhRvL..84..208T }}</ref><ref name="Toral2004">{{cite journal |last1=Toral|first1=Raúl |title=On the Nonextensivity of the Long Range X-Y Model |journal=Journal of Statistical Physics |volume=114 |issue=5/6|year=2004 |pages=1393–1398|issn=0022-4715 |doi=10.1023/B:JOSS.0000013963.16180.a3 |arxiv=cond-mat/0304018 |bibcode=2004JSP...114.1393T }}</ref>。その他に HMF モデルの quasi-stationary state (QSS) の性質{{Sfn|Levin et al.|2014|pp=38-43}}<ref name="MoritaKaneko2006">{{cite journal|last1=Morita|first1=Hidetoshi|last2=Kaneko|first2=Kunihiko|title=Collective Oscillation in a Hamiltonian System|journal=Physical Review Letters |volume=96 |issue=5 |year=2006|issn=0031-9007|doi=10.1103/PhysRevLett.96.050602 |bibcode=2006PhRvL..96e0602M }}</ref><ref name="PakterLevin2013">{{cite journal|last1=Pakter|first1=Renato|last2=Levin|first2=Yan|title=Topology of Collisionless Relaxation |journal=Physical Review Letters |volume=110 |issue=14 |year=2013|issn=0031-9007|doi=10.1103/PhysRevLett.110.140601 |arxiv=1304.5252 |bibcode=2013PhRvL.110n0601P }}</ref><ref name="CampaChavanis2013">{{cite journal|last1=Campa|first1=Alessandro|last2=Chavanis|first2=Pierre-Henri|title=Caloric curves fitted by polytropic distributions in the HMF model |journal=The European Physical Journal B|volume=86|issue=4|year=2013|issn=1434-6028 |doi=10.1140/epjb/e2013-30947-0 |arxiv=1210.4082 |bibcode=2013EPJB...86..170C }}</ref>、[[リンデン＝ベル統計]]の応用{{Sfn|Levin et al.|2014|pp=43-44}}<ref name="Chavanis2006">{{cite journal |last1=Chavanis|first1=P. H. |title=Lynden-Bell and Tsallis distributions for the HMF model |journal=The European Physical Journal B |volume=53|issue=4|year=2006|pages=487–501|issn=1434-6028 |doi=10.1140/epjb/e2006-00405-5 |arxiv=cond-mat/0604234 |bibcode=2006EPJB...53..487C }}</ref><ref name="AssllaniFanelli2012">{{cite journal |last1=Assllani|first1=Mallbor|last2=Fanelli|first2=Duccio|last3=Turchi|first3=Alessio|last4=Carletti|first4=Timoteo|last5=Leoncini|first5=Xavier|title=Statistical theory of quasistationary states beyond the single water-bag case study |journal=Physical Review E|volume=85|issue=2|year=2012|issn=1539-3755|doi=10.1103/PhysRevE.85.021148 |arxiv=1109.5934 |bibcode=2012PhRvE..85b1148A }}</ref>、対応する量子多体系の性質<ref name="Chavanis2011a">{{cite journal|last1=Chavanis|first1=Pierre-Henri|title=The quantum HMF model: I. Fermions |journal=Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment |volume=2011|issue=08|year=2011|pages=P08002|issn=1742-5468|doi=10.1088/1742-5468/2011/08/P08002 |bibcode=2011JSMTE..08..002C }}</ref><ref name="Chavanis2011b">{{cite journal |last1=Chavanis|first1=Pierre-Henri |title=The quantum HMF model: II. Bosons |journal=Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment |volume=2011 |issue=08|year=2011|pages=P08003 |issn=1742-5468 |doi=10.1088/1742-5468/2011/08/P08003 |bibcode=2011JSMTE..08..003C }}</ref>といった研究が行われている。

== 脚注 ==
{{Reflist |2}}

== 参考文献 ==
* {{Cite journal|和書|author=稲垣省五 |date=1993-11 |url=https://dl.ndl.go.jp/pid/10937334/1/1 |title=Stability of Modified Konishi-Kaneko System〔邦文〕 |journal=物性研究 |ISSN=0525-2997 |publisher=物性研究刊行会 |volume=61 |issue=2 |pages=138-141 |hdl=2433/95196 |id={{NDLJP|10937334}} |accessdate=2024-07-18 |ref={{SfnRef|稲垣|1993}} }}
* {{Cite journal |last1=Antoni|first1=Mickael |last2=Ruffo|first2=Stefano |title=Clustering and relaxation in Hamiltonian long-range dynamics |journal=Physical Review E |volume=52 |issue=3 |year=1995 |pages=2361–2374 |issn=1063-651X |doi=10.1103/PhysRevE.52.2361 |bibcode=1995PhRvE..52.2361A |ref=harv}}
* {{Cite journal |first1=Pierre-Henri |last1=Chavanis |first2=J. |last2=Vatteville |first3=Freddy |last3=Bouchet |title=Dynamics and thermodynamics of a simple model similar to self-gravitating systems: the HMF model |journal=European Physical Journal B: Condensed Matter and Complex Systems |publisher=Springer-Verlag |date=2005 |volume=46 |issue=1 |pages=61-99 |doi=10.1140/epjb/e2005-00234-0 |arxiv=cond-mat/0408117 |bibcode=2005EPJB...46...61C }}
* {{Cite web|和書|url=https://www.riam.kyushu-u.ac.jp/fluid/meeting/16ME-S1/papers/Article_No_33.pdf |title=<お探しのページは見つかりません> 長距離力相互作用を有する非線形格子ハミルトン系におけるマクロ変数のカノニカル期待値への漸近的振舞 |author=後藤振一郎, 山口義幸 |date=2005 |accessdate=2021-04-22 |ref={{SfnRef|後藤|山口|2005}} }}{{404|date=2024-07}}
* {{Cite journal|last1=Campa|first1=Alessandro|last2=Dauxois|first2=Thierry|last3=Ruffo|first3=Stefano|title=Statistical mechanics and dynamics of solvable models with long-range interactions|journal=Physics Reports|volume=480|issue=3-6|year=2009|pages=57–159|issn=03701573|doi=10.1016/j.physrep.2009.07.001 |arxiv=0907.0323 |bibcode=2009PhR...480...57C |ref=harv}}
* {{Cite journal |last1=Levin|first1=Yan|last2=Pakter|first2=Renato|last3=Rizzato|first3=Felipe B.|last4=Teles|first4=Tarcísio N.|last5=Benetti|first5=Fernanda P.C. |title=Nonequilibrium statistical mechanics of systems with long-range interactions |journal=Physics Reports|volume=535 |issue=1|year=2014|pages=1–60 |issn=03701573 |doi=10.1016/j.physrep.2013.10.001 |bibcode=2014PhR...535....1L |arxiv=1310.1078 |ref={{SfnRef|Levin et al.|2014}} }}

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