Iのi乗のソースを表示

{{DISPLAYTITLE:{{mvar|i}}の{{mvar|i}}乗}}
{{出典の明記|date=2016年1月}}
[[数学]]において、[[虚数単位]] '''{{mvar|i}} の {{mvar|i}} 乗'''（{{mvar|i}} の {{mvar|i}} じょう）すなわち '''{{math|''i''{{sup|''i''}}}}''' とは、ある[[可算]][[無限]]個の[[正の数と負の数|正]]の[[実数]]である。[[ネイピア数]] {{mvar|e}} と[[円周率]] {{mvar|&pi;}} を用いて、
: <math>i^i =e^{-(4n+1)\pi/2}</math>
と書ける（{{mvar|n}} は任意の[[整数]]）。{{math|''n'' {{=}} 0}} としたとき、{{math|''i''{{sup|''i''}}}} は[[主値]]
: <math>i^i =e^{-\pi/2} = \frac{1}{\sqrt{e^\pi}} = 0.20787957\ldots</math>
を取る（{{OEIS|A49006}}）。

== 計算の方法 ==
まず {{mvar|i}} の[[複素数の偏角|偏角]]は（[[ラジアン]]で） {{math|{{sfrac
|''π''|2}} + 2''nπ''}}（{{mvar|n}} は任意の整数）であることに注意する。
:<math>i^i = e^{i\log i}</math> 
ただし {{math|log}} は[[複素対数函数]]（[[多価関数]]）であり、{{math|log&nbsp;''i''}} は
:<math>\log i = \ln|i| + i \arg i = \ln 1 + i \left(\frac{\pi}{2} +2n\pi\right) = i \left(\frac{\pi}{2} +2n\pi\right)</math>
そして指数関数 {{math|''e''{{sup|''x''}}}} は、[[冪級数]]
: <math>e^x = \exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots</math>
等により定義され、虚数乗も計算できる。

ここで {{math|ln}} は[[実数値関数]]の[[自然対数]]であり
:<math>i^i = e^{i \cdot i \left(\pi/2 +2n\pi\right)} = e^{-\left( \pi/2 +2n\pi \right)} =e^{-(4n+1)\pi/2}</math>
と計算される。{{math|''n'' {{=}} ... , &minus;2, &minus;1, 0, 1, 2, ...}}　とおくと
:<math>i^i =\ldots, \,e^{7\pi/2},\, e^{3\pi/2},\, e^{-\pi/2},\, e^{-5\pi/2},\, e^{-9\pi/2}, \ldots</math>
となる。[[主値]]は冒頭の通り {{math|''n'' {{=}} 0}} のときの {{math|e{{sup|&minus;''π''/2}}}} である。

== 数学的性質 ==
{{math|''i''{{sup|''i''}}}} の取る値はどれも正の実数であるが、{{math|e{{sup|&minus;(''&pi;''/2 + 2''n&pi;'')}}}} の整数 {{mvar|n}} を適当に小さくとれば、どんな実数よりも大きな数になり、逆に {{mvar|n}} を大きくとれば、どんな正の実数よりも小さな数になる。したがって {{math|''i''{{sup|''i''}}}} には[[最大と最小|最大値]]も最小値も存在しない。

{{math|''i''{{sup|''i''}}}} の主値 {{math|e{{sup|&minus;''&pi;''/2}}}} は
:<math>e^{-\pi/2} = e^{(i/2)\operatorname{Log}(-1)} = (-1)^{i/2}</math>
であるから、[[ゲルフォント＝シュナイダーの定理]]より、[[超越数]]であるため、[[無理数]]である。同様に他の {{math|''i''{{sup|''i''}}}} の値も超越数である。

なお {{math|(&minus;''i''){{sup|&minus;''i''}}}} も 
:<math>(-i)^{-i} = e^{-i\log(-i)} = e^{-(\pi/2 -2n\pi )}</math>
なので、{{math|(&minus;''i''){{sup|&minus;''i''}} {{=}} ''i''{{sup|''i''}}}} である。

[[テトレーション]] <math>i^{i^{.^{.^{i}}}}</math> の[[極限]]は実数ではない複素数に[[収束]]する (Macintyre 1966)。
:<math>\begin{align}i^{i^{i^{.^{.^{.}}}}} &=\lim_{n\to \infty}{i\rightarrow n\rightarrow 2}\\&=\lim_{n\to \infty}{i\uparrow\uparrow n}=\lim_{n\to \infty}{(i\uparrow)^ni\uparrow i}\\&=-\frac{W(-\log i)}{\log i} =\frac{2i}{\pi} \, W\Bigl({-\frac{\pi}{2} i}\Bigr) \\&\approx 0.438283+0.3605924\cdot i.\end{align}</math>
ただし、{{math|''W''}} は[[ランベルトのW関数]]である。

== 関連項目 ==
*[[虚数単位]]
*[[指数関数]]
*[[0の0乗]]

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|title=i|urlname=i}}

{{DEFAULTSORT:iあいのあいしよう}}
[[Category:複素数]]
[[Category:数学定数]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[en:Imaginary unit#i raised to the power of i]]