K関数のソースを表示

[[数学]]において、'''K関数'''とは、[[階乗#hyperfactorial|ハイパー階乗]](''hyperfactorial'')の[[複素数]]への一般化である。
== 定義 ==
形式的には、K関数は

:<math>K(z)=(2\pi)^{(-z+1)/2} \exp\left[\begin{pmatrix} z\\ 2\end{pmatrix}+\int_0^{z-1} \ln(t!)\,dt\right]</math>

のように定義される。これは、閉じた式としても表せ、
:<math>K(z)=\exp\left[\zeta^\prime(-1,z)-\zeta^\prime(-1)\right]</math>

となる。ここで、&zeta;'(''z'')は[[リーマンゼータ関数]]の一階[[導関数]]、&zeta;(''a'',''z'')は[[フルヴィッツのゼータ函数|フルヴィッツのゼータ関数]]で、

:<math>\zeta^\prime(a,z)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left[\frac{d\zeta(s,z)}{ds}\right]_{s=a}</math>

である。また、[[ポリガンマ関数]]を用いた別の式もある。<ref>[http://www.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/polyg.htm Victor S. Adamchik. PolyGamma Functions of Negative Order]</ref>

:<math>K(z)=\exp\left(\psi^{(-2)}(z)+\frac{z^2-z}{2}-\frac z2 \ln (2\pi)\right)</math>

である。また、[[:en:Balanced polygamma function|Balanced polygamma function]]を使って、<ref>[http://www.math.tulane.edu/~vhm/papers_html/genoff.pdf Olivier Espinosa Victor H. Moll. A Generalized polygamma function. Integral Transforms and Special Functions Vol. 15, No. 2, April 2004, pp. 101–115]</ref>

:<math>K(z)=A e^{\psi(-2,z)+\frac{z^2-z}{2}}</math>

とも書ける。ここで A は[[グレーシャーの定数]]である。

K関数は[[ガンマ関数]]のときと同様に、[[スターリングの公式]]の類似公式を持つ。

:<math>K(z+1)=A e^{-\frac{z^2}{4}} z^{\frac{z(z+1)}{2}+\frac{1}{12}} \left( 1+ \frac{1}{720z^2} -\frac{1433}{7257600z^4}+\frac{1550887}{15676416000z^6}-\cdots\right)</math>

K関数は[[ガンマ関数]]や[[バーンズのG関数]]と密接な関連を持つ。正の実数nに対し、

:<math>K(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{G(n)}</math>

のような関連がある。より明確に書けば、

:<math>K(n+1)=1^1\, 2^2\, 3^3 \cdots n^n</math>

が自然数nに対し成り立つということである。より一般に、次のような関数等式を持つ。
:<math>K(x+1)=K(x)x^x</math>

K関数は二重ガンマ関数の特殊な場合として捉えることができる。
:<math>K(x)=\Gamma_{1,1}(x)e^{-\zeta'(-1)}=\Gamma_2(x)\Gamma_1(x)^{x-1}e^{-\zeta'(-1)}</math>
==倍角公式==
ガンマ関数の倍角公式の類似として、次の公式が知られている。
:<math>K(Nx)=\biggr(\frac{e^{1/12}}{A}\biggr)^{N^2-1}\prod_{n=0}^{N-1}K\Big(\frac{n}{N}+x\Big)^N\cdot N^{\frac1 {12}+\frac{N^2x^2}{2}-\frac{Nx}{2}}</math>
ここで、Aは[[グレイシャー・キンケリンの定数]]である。
== 数値 ==
最初の数項の値は、
:1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... ({{OEIS|A002109}}).
となる。また、<math>K(\tfrac12 )</math>は、

:<math>K(\tfrac12 )=\frac{A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}</math><ref>{{MathWorld|Hyperfactorial|Hyperfactorial}}</ref>

のように表せる。ここで A はグレーシャーの定数である。

== 関係式 ==
K関数とバーンズのG関数との積は次のようにかける。

:<math>K(z)\cdot G(z) = \exp\left\{(z-1)\cdot \log [\Gamma (z)]\right\}.</math>
ここで、<math>z\in\Complex,z\notin\Z\setminus \N,z \ne 0.</math>

[[Benoit Cloitre]]は2003年、下の式を発表した。 

:<math>\frac{1}{K(n+1)} = (-1)^n \operatorname{det}
\begin{vmatrix}
-1&-1&-1&\cdots&-1\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \cdots & \frac{1}{2^n}\\
-\frac{1}{3} & -\frac{1}{9} & -\frac{1}{27} & \cdots & -\frac{1}{3^n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\frac{(-1)^n}{n} & \frac{(-1)^n}{n^2} & \frac{(-1)^n}{n^3} & \cdots & \frac{(-1)^n}{n^n}\\
\end{vmatrix}</math>.

== 参考文献 ==
{{Refbegin}}
* {{Cite journal|first=Hermann |last=Kinkelin |title=Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung |journal= Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=57 |year=1860 |language=de |issue=18 |pages= 122–138 |id=PPN243919689 |url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002150824 |issn=0075-4102}}
{{Refend}}
== 注釈 ==
{{Reflist|2}}

== 関連項目 ==
* [[階乗]]
* [[ガンマ関数]]
* [[バーンズのG関数]]

== 外部リンク ==
* {{mathworld|title=K-Function|urlname=K-Function}}

{{DEFAULTSORT:K けいかんすう}}
[[Category:数学の表記法]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]