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'''mKdV方程式'''（えむけぃでいびぃほうていしき、{{lang-en-short|mKdV equation}}）または'''変形KdV方程式'''（へんけいけぃでいびぃほうていしき、{{lang-en-short|modified KdV equation}}）とは非線形波動を記述する非線形[[偏微分方程式]]。[[可積分系]]の方程式の一つであり、無限個の[[保存則|保存量]]が存在する。日系3世である数学者[[:en:Robert Miura|ローバート・ミウラ(R. Miura)]]によって導出された。

==概要==
=== 定義 ===
時間変数''t'' と空間変数''x'' の関数で''v'' (''x'', ''t'' )についての非線形偏微分方程式

:<math> v_t +6 v^2 v_x +v_{xxx}=0 \, </math>

を'''mKdV方程式'''または、'''変形KdV方程式'''という。ここで、右下の添え字は各変数に対する偏微分を表す。mKdV方程式は可積分系の方程式であり、

:<math> v=\pm \alpha \operatorname{sech} (\alpha x -\alpha^3 t) \, </math>

等の[[ソリトン]]的な解を有する。

=== KdV方程式との関係 ===

''v'' が第2項の符号を変えたmKdV方程式

:<math> v_t - 6 v^2 v_x +v_{xxx}=0 \, </math>

の解とすると、'''Miura変換'''と呼ばれる関係式

:<math> u=v_x+v^2 \,</math>

で結ばれる''u'' は[[KdV方程式]]

:<math> u_t - 6 u u_x +u_{xxx}=0 \, </math>

の解となる。このことは、関係式

:<math>
\biggl (\frac{\partial}{\partial x}+2v \biggr )(v_t - 6 v^2 v_x +v_{xxx})
= u_t - 6 u u_x +u_{xxx}
</math>

から導かれる。Miura変換並びにmKdV方程式は日系3世である数学者ローバート・ミウラ（R. Miura）によって、導出された。こうしたMiura変換の発見は可積分系における[[逆散乱法]]の発展の契機となった。

=== 逆散乱法との関係 ===
''u''を与えられたものとすれば、ミウラ変換の関係式は、[[リッカチの微分方程式]]であり、変数変換

:<math>
v=\frac{\psi_x}{\psi}
</math>

により、

:<math>
\psi_{xx}-u(x)\psi=0
</math>

と[[線形化]]される。元のKdV方程式が、[[ガリレイ変換]]

:<math>u \rightarrow u- \lambda</math>
:<math>x \rightarrow x- 6 \lambda t</math>

のもとで不変であることに注意すれば、ガリレイ変換''u''→''u''-&lambda;で、上記の線形化された方程式は、

:<math>
\psi_{xx}+(u-\lambda)\psi=0
</math>

となる。これは、''u''をポテンシャル関数、&lambda;を固有値とする[[シュレディンガー方程式]]である。従って、KdV方程式を解くことは、シュレディンガー方程式において、ポテンシャル関数を求める[[逆問題]]を解くことと等価である。

==参考文献==
;原論文
*R. Miura, "Korteweg‐de Vries Equation and Generalizations. I. A Remarkable Explicit Nonlinear Transformation," ''J. Math. Phys.'', '''9''', p. 1202 (1968) {{doi|10.1063/1.1664700}}

;参考書籍
*[[和達三樹]] 『非線形波動 (現代物理学叢書) 』 岩波書店 (2000年) ISBN 978-4000067416
*[[戸田盛和]] 『非線形波動とソリトン』 日本評論社(2000年)　ISBN 978-4535783164

==関連項目==
* [[KdV方程式]]
* [[ソリトン]]

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{{DEFAULTSORT:Mkdvほうていしき}}
[[Category:可積分系]]
[[Category:物理学の方程式]]
[[Category:数学に関する記事|Mえむけいていひいほうていしき]]