MKdV方程式

テンプレート:小文字 mKdV方程式（えむけぃでいびぃほうていしき、テンプレート:Lang-en-short）または変形KdV方程式（へんけいけぃでいびぃほうていしき、テンプレート:Lang-en-short）とは非線形波動を記述する非線形偏微分方程式。可積分系の方程式の一つであり、無限個の保存量が存在する。日系3世である数学者ローバート・ミウラ(R. Miura)によって導出された。

概要

定義

時間変数t と空間変数x の関数でv (x, t )についての非線形偏微分方程式

$v_t+6v^2{v}_x+v_{xxx}=0$

をmKdV方程式または、変形KdV方程式という。ここで、右下の添え字は各変数に対する偏微分を表す。mKdV方程式は可積分系の方程式であり、

$v=\pm \alpha \mathrm{sech}(\alpha x-{\alpha }^{3}t)$

等のソリトン的な解を有する。

KdV方程式との関係

v が第2項の符号を変えたmKdV方程式

$v_t-6v^2{v}_x+v_{xxx}=0$

の解とすると、Miura変換と呼ばれる関係式

$u=v_x+v^2$

で結ばれるu はKdV方程式

$u_t-6u{u}_x+u_{xxx}=0$

の解となる。このことは、関係式

$(\frac{\partial }{\partial x}+2v)(v_t-6v^2{v}_x+v_{xxx})=u_t-6u{u}_x+u_{xxx}$

から導かれる。Miura変換並びにmKdV方程式は日系3世である数学者ローバート・ミウラ（R. Miura）によって、導出された。こうしたMiura変換の発見は可積分系における逆散乱法の発展の契機となった。

逆散乱法との関係

uを与えられたものとすれば、ミウラ変換の関係式は、リッカチの微分方程式であり、変数変換

$v=\frac{{\psi }_x}{\psi }$

により、

${\psi }_{xx}-u(x)\psi =0$

と線形化される。元のKdV方程式が、ガリレイ変換

$u\to u-\lambda$

$x\to x-6\lambda t$

のもとで不変であることに注意すれば、ガリレイ変換u→u-λで、上記の線形化された方程式は、

${\psi }_{xx}+(u-\lambda )\psi =0$

となる。これは、uをポテンシャル関数、λを固有値とするシュレディンガー方程式である。従って、KdV方程式を解くことは、シュレディンガー方程式において、ポテンシャル関数を求める逆問題を解くことと等価である。

参考文献

原論文

• R. Miura, "Korteweg‐de Vries Equation and Generalizations. I. A Remarkable Explicit Nonlinear Transformation," J. Math. Phys., 9, p. 1202 (1968) テンプレート:Doi

参考書籍

• 和達三樹 『非線形波動 (現代物理学叢書) 』 岩波書店 (2000年) ISBN 978-4000067416
• 戸田盛和 『非線形波動とソリトン』 日本評論社(2000年)　ISBN 978-4535783164

関連項目

• KdV方程式
• ソリトン