N-ベクトルモデルのソースを表示

{{DISPLAYTITLE:{{mvar|n}}-ベクトルモデル}} 
'''{{Mvar|n}}-ベクトルモデル'''（{{lang-en-short|{{Mvar|n}}-vector model}}）、あるいは、'''{{Math|O(''n'')}} モデル'''は、[[統計力学]]的なモデルのひとつ。[[相転移]]、{{仮リンク|臨界現象|en|Critical phenomena}}、[[磁性]]などを説明するために用いられる、非常に単純化された（もしくは実効的な）モデルである。[[ユージン・スタンレー]]により導入された{{Sfn|Stanley|1968a}}。

{{Mvar|n}}-ベクトルモデルやその一般化の数学的表式や解法については、{{仮リンク|ポッツモデル|en|Potts model}} {{en|(Potts model)}} の記事に詳しい。

== 古典的表式 ==
このモデルでは、[[格子点]]上に {{Mvar|n}} 成分の（[[古典物理学|古典的な]]）[[スピン角運動量|スピン]] {{math|{{vec|''S''}}}} を置く。もともとの[[ユージン・スタンレー]]による[[1968年]]の表式{{Sfn|Stanley|1968a}}{{Sfn|Stanley|1968b}}では、最近接のスピン {{math|{{vec|''S''}}<sub>''i''</sub>}} と {{math|{{vec|''S''}}<sub>''j''</sub>}} のみの間に相互作用があり（最近接相互作用）、スピンの絶対値は 1 に限られる。[[ハミルトニアン]]は以下のように与えられる。
: <math>H = -J \sum_{\langle i, j \rangle} \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j</math>.
ここで {{mvar|J}} は[[結合定数 (物理学)|結合定数]]である。和は、隣接するスピン {{math|{{angbr|''i'', ''j''}}}} のペアのすべてを渡り、{{math|&middot;}} は標準的なユークリッド内積を表す。

スピンの次元は {{Mvar|n}} であるが、格子空間の次元は {{Mvar|n}} とは別に独立して決めることができる。

{{Mvar|n}}-ベクトルモデルの特別の場合として、以下のものが特によく知られている。
: {{math|1=''n'' = 0}} – {{仮リンク|自己回避ランダムウォーク|en|Self-avoiding walk}} {{en|(Self-Avoiding Walks; SAW)}}
: {{math|1=''n'' = 1}} – [[イジング模型]] 
: {{math|1=''n'' = 2}} – （古典）[[XY模型]] 
: {{math|1=''n'' = 3}} – [[古典ハイゼンベルク模型|（古典）ハイゼンベルク模型]]
: {{math|1=''n'' = 4}} – [[標準模型]]の{{仮リンク|ヒッグスセクター|en|Higgs sector}} {{en|(Higgs sector)}} の[[トイモデル]]

=== モデルの拡張 ===
このモデルのよくある拡張として、最近接格子点だけではなくより遠くの格子点との相互作用を考慮するモデルがある。これにより、結合定数が場所に依存するような場合もとりあつかうことができる。ハミルトニアンは {{Math|''i'', ''j''}} がそれぞれ格子点全体をわたるものとして以下のように与えられる。 

:<math>H = \sum_{i,j}J_{ij} \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j</math>

他にも、個々の特別の場合のモデルについて様々な拡張がある。

== 量子論的表式 ==
[[量子力学|量子論]]的表式ではスピンを古典的に取り扱うことはできず、スピン演算子により表現される量子スピンとして取り扱わなければならない。古典的表式との主な相違点は、 {{Mvar|n}} 次元のスピン演算子同士は[[交換子|交換しない]]ことである。以下の特別の場合が知られている。
: {{math|1=''n'' = 0}} – {{仮リンク|自己回避ランダムウォーク|en|Self-avoiding walk}} {{en|(Self-Avoiding Walks; SAW)}}
: {{math|1=''n'' = 1}} – [[イジング模型]] 
: {{math|1=''n'' = 2}} – （量子）[[XY模型]] 
: {{math|1=''n'' = 3}} – {{仮リンク|量子ハイゼンベルク模型|en|Heisenberg model (quantum)|de|Heisenberg-Modell (Quantenmechanik)|label=（量子）ハイゼンベルク模型}}

==出典==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

==参考文献==
* {{Cite journal|first=H. Eugene|last=Stanley|authorlink=ユージン・スタンレー|title=Dependence of Critical Properties upon Dimensionality of Spins|journal=[[Phys. Rev. Lett.]]|volume=20|pages=589-592|doi=10.1103/PhysRevLett.20.589|ref={{SfnRef|Stanley|1968a}}|date=1968-03-18 }}
*: この論文は、場の理論の多くの論文の基礎であり、{{Harv|Brèzin|Wadia|1993}}の1章に再録されている。{{Harv|Pathria|Beale|1996}}にも拡張された記述がある。
**{{Cite book|editor1-last=Brèzin|editor2-last=Wadia|title=The Large-N expansion in Quantum Field Theory and Statistical Physics|publisher=World Scientific, Singapore|year=1993|ref=harv|doi=10.1142/1208}}
**{{Cite book|last=Pathria|first=R. K.|first2=Paul D.|last2=Beale|url=http://www.sciencedirect.com/science/book/9780750624695|title=Statistical Mechanics: Second Edition|publisher=Pergamon Press, Oxford|year=1996|ref=harv|ISBN=978-0-7506-2469-5}}
* {{Cite journal|first=P. G.|last=de Gennes|authorlink=ピエール＝ジル・ド・ジェンヌ|journal=[[Phys. Lett. A]]|volume=38|page=339|year=1972|title=Exponents for the excluded volume problem as derived by the Wilson method|doi=10.1016/0375-9601(72)90149-1|month=February}}
*: この論文は{{Math|''n''{{=}}0}}の場合がSAWモデルと一致することに言及している。
* {{Cite journal|first=George|last=Gaspari|first2=Joseph|last2=Rudnick|journal=[[Phys. Rev. B]]|volume=33|page=3295|doi=10.1103/PhysRevB.33.3295<!-- |year=1986|month=March|day=1 -->|date= 1986-03-01 |title={{Mvar|n}}-vector model in the limit {{Math|''n''→0}} and the statistics of linear polymer systems: A Ginzburg-Landau theory}}
*: この論文は{{Mvar|n}}が0に近付く極限について論じている。
* {{Cite journal|title = Spherical Model as the Limit of Infinite Spin Dimensionality|journal = [[フィジカル・レビュー|Phys. Rev.]]|publisher = [[アメリカ物理学会|APS]]|first = H. E.|last = Stanley|author-link = ユージン・スタンレー|date=1968-12-10 |volume = 176|page = 718|doi=10.1103/PhysRev.176.718|ref={{SfnRef|Stanley|1968b}}}}
{{physics-stub}}

{{DEFAULTSORT:えぬへくとるもてる}}
[[Category:統計力学]]
[[Category:格子模型]]