P-形式電磁気学のソースを表示

{{小文字}}{{要改訳}}
理論物理学では、'''p-形式電磁気学'''(p-form electrodynamics)は、[[電磁気学]]のマックスウェルの理論の一般化である。
<!--In [[theoretical physics]], '''p-form electrodynamics''' is a generalization of Maxwell's theory of [[electromagnetism]].-->

==通常の（1-形式の）可換な電磁気学==
1-形式 '''A''' は[[ゲージ理論|ゲージ対称性]]

:<math>\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + d\alpha</math>

を持っている。ここに α は任意の固定された [[微分形式|0-形式]]で、d は[[外微分]]、{{仮リンク|テンソル密度|label=密度|en|tensor density}}(density) 1 を持ち、[[連続の方程式]]

:<math>d*\mathbf{J}=0</math>

を満たすゲージ不変である{{仮リンク|ベクトルカレント|en|vector current}}(vector current)を '''J''' とする。ここの * は[[ホッジ双対]]である。

代わりに、'''J''' を (d &minus; 1)-[[ポアンカレの補題|閉形式]]とする。

'''F''' は外微分 <math>\mathbf{F}=d\mathbf{A}</math> として定義される[[ゲージ理論|ゲージ不変]][[微分形式|2-形式]]である。

'''A''' は運動方程式

:<math>d*\mathbf{F}=*\mathbf{J}</math>

を満たす（この方程式は明らかに連続の方程式を意味している）。

これは下記の[[作用 (物理学)|作用]]から導くことができる。

:<math>S=\int_M \left[\frac{1}{2}\mathbf{F}\wedge *\mathbf{F} - \mathbf{A} \wedge *\mathbf{J}\right]</math>

ここに M は[[時空]][[多様体]]である。
<!--==Ordinary (viz. one-form) Abelian electrodynamics==
We have a one-form '''A''', a [[gauge symmetry]]

:<math>\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + d\alpha</math>

where α is any arbitrary fixed [[0-form]] and d is the [[exterior derivative]], and a gauge-invariant [[vector current]] '''J''' with [[tensor density|density]] 1 satisfying the [[continuity equation]]

:<math>d*\mathbf{J}=0</math>

where * is the [[Hodge dual]].

Alternatively, we may express '''J''' as a (''d'' &minus; 1)-[[closed form]].

'''F''' is a [[gauge invariant]] [[2-form]] defined as the exterior derivative <math>\mathbf{F}=d\mathbf{A}</math>.

'''A''' satisfies the equation of motion

:<math>d*\mathbf{F}=*\mathbf{J}</math>

(this equation obviously implies the continuity equation).

This can be derived from the [[action (physics)|action]]

:<math>S=\int_M \left[\frac{1}{2}\mathbf{F}\wedge *\mathbf{F} - \mathbf{A} \wedge *\mathbf{J}\right]</math>

where M is the [[spacetime]] [[manifold]].-->

==可換な p-形式電磁気学==
[[微分形式|p-形式]] '''B''' があり[[ゲージ理論|ゲージ対称性]]

:<math>\mathbf{B} \rightarrow \mathbf{B} + d\mathbf{\alpha}</math>

を持っている。ここに '''α''' は任意の固定された (p-1)-形式であり、d は[[外微分]]であり、ゲージ不変な{{仮リンク|p-ベクトル|en|p-vector}}(p-vector) '''J''' は{{仮リンク|テンソル密度|label=密度|en|tensor density}}(density) 1 を持ち、[[連続の方程式]]

:<math>d*\mathbf{J}=0</math>

を満たす。ここに * は[[ホッジ双対]]である。

代わりに、'''J''' を (d-p)-[[ポアンカレの補題|閉形式]]とする。

'''C''' は外微分 <math>\mathbf{C}=d\mathbf{B}</math> として定義された[[ゲージ理論|ゲージ不変]]な (p+1)-形式である。

'''B''' は運動方程式

:<math>d*\mathbf{C}=*\mathbf{J}</math>

を満たす（この方程式は明らかに連続の方程式を意味する）。

これは[[作用 (物理学)|作用]]

:<math>S=\int_M \left[\frac{1}{2}\mathbf{C}\wedge *\mathbf{C} +(-1)^p \mathbf{B} \wedge *\mathbf{J}\right]</math>

から従う。ここに M は[[時空]][[多様体]]である。

他の[[符号の規約]]もある。

[[カルブ・ラモン場]](Kalb-Ramond field)は、p = 2 の弦理論での例である。電荷のソースが[[D-ブレーン]]である{{仮リンク|ラモン・ラモン場|en|Ramond-Ramond field}}(Ramond-Ramond field)は、すべての p の値に対する例であり、11次元の[[超重力理論]]や[[M-理論]]の中では、3-形式の電磁気学である。
<!--==p-form Abelian electrodynamics==
We have a [[p-form]] '''B''', a [[gauge symmetry]]

:<math>\mathbf{B} \rightarrow \mathbf{B} + d\mathbf{\alpha}</math>

where '''α''' is any arbitrary fixed (p-1)-form and d is the [[exterior derivative]],

and a gauge-invariant [[p-vector]] '''J''' with [[tensor density|density]] 1 satisfying the [[continuity equation]]

:<math>d*\mathbf{J}=0</math>

where * is the [[Hodge dual]].

Alternatively, we may express '''J''' as a (d-p)-[[closed form]].

'''C''' is a [[gauge invariant]] (p+1)-form defined as the exterior derivative <math>\mathbf{C}=d\mathbf{B}</math>.

'''B''' satisfies the equation of motion

:<math>d*\mathbf{C}=*\mathbf{J}</math>

(this equation obviously implies the continuity equation).

This can be derived from the [[action (physics)|action]]

:<math>S=\int_M \left[\frac{1}{2}\mathbf{C}\wedge *\mathbf{C} +(-1)^p \mathbf{B} \wedge *\mathbf{J}\right]</math>

where M is the [[spacetime]] [[manifold]].

Other [[sign convention]]s do exist.

The [[Kalb-Ramond field]] is an example with ''p=2'' in string theory; the [[Ramond-Ramond field]]s whose charged sources are [[D-brane]]s are examples for all values of ''p''. In 11d [[supergravity]] or [[M-theory]], we have a 3-form electrodynamics.-->

==非可換の一般化==
まさに、電磁気学の非可換一般化として[[ヤン・ミルズ理論]]を導いたように、p-形式電磁気学の非可換一般化も得られる。典型的には{{仮リンク|ジャーブ|en|gerbe}}(gerbe)を使うことが求められる。
<!--==Non-abelian generalization==
Just as we have non-abelian generalizations of electrodynamics, leading to [[Yang–Mills theory|Yang–Mills theories]], we also have nonabelian generalizations of p-form electrodynamics. They typically require the use of [[gerbe]]s.-->

==参考文献==
* Henneaux; Teitelboim (1986), "p-Form electrodynamics", ''Foundations of Physics'' '''16''' (7): 593-617, [Digital object identifier], :{{doi|10.1007/BF01889624 10.1007/BF01889624}}

*Bunster, C.; Henneaux, M. (2011). "[https://doi.org/10.1103/PhysRevD.83.125015 Action for twisted self-duality]". Physical Review D 83 (12).
* Navarro; Sancho (2012), "Energy and electromagnetism of a differential k-form ", ''J. Math. Phys.'' '''53''', 102501 (2012) [Digital object identifier],{{doi|10.1063/1.4754817 10.1063/1.4754817}}

{{DEFAULTSORT:ひいけいしきてんしきかく}}
[[Category:場の量子論]]