Qポッホハマー記号のソースを表示

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数学において、'''qポッホハマー記号'''({{lang-en-short|q-Pochhammer symbol}})は[[q-類似]]の数式に頻出する乗積を略記する記号である<ref>[http://mathworld.wolfram.com/q-PochhammerSymbol.html Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol]</ref><ref>Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (2000). Special functions. Cambridge university press.</ref><ref name="GR">Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. Cambridge university press.</ref>。
: <math>\begin{align}
&(a;q)_\infty:=\prod_{k=0}^{\infty}(1-aq^k)\\
&(a;q)_n:=\frac{(a;q)_\infty}{(aq^n;q)_\infty}\\
\end{align}</math>
<math>|q|<1</math>の仮定が普通であり、実用上、<math>n</math>は[[整数]]であることが多い。<math>n</math>が整数である場合は
: <math>(a;q)_n=\begin{cases}
\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^k)&n>0\\
1&n=0\\
\displaystyle\prod_{k=n}^{-1}\frac{1}{(1-aq^k)}&n<0\\
\end{cases}</math>
となる。<math>m,n</math>が整数であり、<math>a=q^{-m}</math>であるとき、<math>0{\le}m<n</math>であれば<math>(q^{-m};q)_n=0</math>であり、<math>n{\le}m<0</math>であれば<math>(q^{-m};q)_n</math>である。

== 更なる略記 ==
基底 ({{en|base}}) が文字<math>q</math>である場合は省略することがある。
: <math>\begin{align}
&(a)_n=(a;q)_n\\
&(q)_n=(q;q)_n\\
\end{align}</math>
複数のqポッホハマー記号が並ぶときは合成することがある。
: <math>\begin{align}
&(a,b,c)_n=(a,b,c;q)_n:=(a;q)_n(b;q)_n(c;q)_n\\
\end{align}</math>

== 変換式 ==
以下の変換式が成立する。
:<math>\begin{align}(aq^{-n+1};q)_n
&=\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^{-n+1+k})\\
&=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{n-1-k}}{a}\right)\\
&=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{k}}{a}\right)\qquad(n-1-k{\mapsto}n)\\
&=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\left(\dfrac{1}{a};q\right)_n
\end{align}</math>

== qブラケット ==
qブラケット ({{lang-en-short|q-bracket}}) は整数、実数、複素数などの[[q-類似]]を表す記号である<ref>[http://mathworld.wolfram.com/q-Bracket.html Wolfram Mathworld: q-Bracket]</ref>。
:<math>[n]=[n]_q:=\frac{1-q^n}{1-q}=\sum_{k=0}^{n-1}q^k.</math>

== q階乗 ==
q階乗 ({{lang-en-short|q-factorial}}) は[[階乗]]の[[q-類似]]である<ref name="GR"/><ref>[http://mathworld.wolfram.com/q-Factorial.html Wolfram Mathworld: q-Factorial]</ref>。（分母は普通の冪乗であることを為念）
: <math>[n]_q!:=\prod_{k=1}^{n}[k]_q=\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}.</math>

== q二項係数 ==
q二項係数 ({{lang-en-short|q-binomial coefficient}}) は二項係数の[[q-類似]]である<ref name="GR"/><ref>[http://mathworld.wolfram.com/q-BinomialCoefficient.html Wolfram Mathworld: q-Binomial Coefficient]</ref>。
: <math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q:=\frac{[n]_q!}{[n-k]_q![k]_q!}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_{n-k}(q;q)_k}.</math>

== 出典 ==
<references/>
==関連項目==
*[[:en:q-gamma function]]
*[[:en:Jackson's q-Bessel function]]
*[[:en:Hahn-Exton q-Bessel function]]
* {{仮リンク|qテータ関数|en|q-theta function}}

[[Category:数学の表記法]]
[[Category:q-解析学]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]