ディリクレエネルギー

数学におけるディリクレエネルギー（テンプレート:Lang-en-short）は、函数がどのように変化するかを測るための概念である。より抽象的に、そのようなエネルギーはソボレフ空間 テンプレート:Math 上の二次汎函数である。ディリクレエネルギーはラプラス方程式と密接に関連するもので、ドイツの数学者ペーター・グスタフ・ディリクレの名にちなむ。

定義

開集合 テンプレート:Math と函数 テンプレート:Math が与えられたとき、その函数 テンプレート:Math のディリクレエネルギーは次の実数で定義される：

$E[u]=\frac{1}{2}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\Vert \mathrm{\nabla }u(x){\Vert }^2\mathrm{d}V.$

ここで テンプレート:Math は函数 テンプレート:Math の勾配ベクトル場を表す。

性質と応用

ディリクレエネルギーは非負の量の積分なので、それ自身非負である。すなわちすべての函数 テンプレート:Math に対して E[u] ≥ 0 が成り立つ。

（適切な境界条件に対する）ラプラス方程式

$-\mathrm{\Delta }u(x)=0\text{ for all }x\in \mathrm{\Omega }$

を解くことは、その境界条件を満たしディリクレエネルギーを最小にするような函数 テンプレート:Math を探す変分問題を解くことと同値である。

そのような解は調和函数と呼ばれ、ポテンシャル論における研究テーマの一つである。

関連項目

• ディリクレの原理
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
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参考文献

• テンプレート:Cite book