コルモゴロフの拡張定理

テンプレート:Expand English 数学の測度論におけるコルモゴロフの拡張定理（コルモゴロフのかくちょうていり、テンプレート:Lang-en-short）とは、全ての自然数テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar次元ユークリッド空間 ${ℝ}^n$ のボレル集合体 $ℬ({ℝ}^n)$ 上の測度 $m_n$ が定義され、その測度列 $(m_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ が両立条件を満たしている（順に拡張されている）ならば、測度 $m_n$ は可算無限直積 ${ℝ}^{\mathrm{\infty }}$ 上に一意に拡張できることを述べた定理である。

つまり、自然数テンプレート:Mvar に対して

測度空間 $({ℝ}^n,ℬ({ℝ}^n),m_n)$

（${ℝ}^n$ は実数全体からなる集合 テンプレート:Mvar個の直積、$ℬ$ はボレル集合体、$m_n:ℬ({ℝ}^n)\to [0,\mathrm{\infty }]$ は測度）

が定義され、両立条件：

$m_n(A)=m_{n+k}(A\times {ℝ}^k)(A\in ℬ({ℝ}^n),k\in \mathbb{N})$

を満たしているとき、ある測度 $m:ℬ({ℝ}^{\mathrm{\infty }})\to [0,\mathrm{\infty }]$ で、

$m(A\times {ℝ}^{\mathrm{\infty }})=m_n(A)(A\in ℬ({ℝ}^n))$

を満たすものが一意に存在する。ここで、$A\subset {ℝ}^n$ を ${ℝ}^{\mathrm{\infty }}$ に埋め込んだ集合 $A\times {ℝ}^{\mathrm{\infty }}\subset {ℝ}^{\mathrm{\infty }}$ を テンプレート:Mvar の筒集合（柱状集合、テンプレート:Lang-en-short）という。

ロシア（ソビエト）の数学者アンドレイ・コルモゴロフの名に因む。

本定理により、コイントスやさいころを何回も投げるといった反復試行の確率を、無限回の操作に対しても考えることができる。

関連項目

• カラテオドリの拡張定理
• ホップの拡張定理
• 前測度