条件付き確率

等式 テンプレート:Math の決定木による図示。

条件付き確率（じょうけんつきかくりつ、テンプレート:Lang-en-short）は、ある事象 テンプレート:Mvar が起こるという条件下での別の事象 テンプレート:Mvar の確率のことをいう。条件付き確率は テンプレート:Math または テンプレート:Math のように表されるテンプレート:Sfn。条件付き確率 テンプレート:Math はしばしば「テンプレート:Mvar が起こったときの テンプレート:Mvar の（条件付き）確率」「条件 テンプレート:Mvar の下での テンプレート:Mvar の確率」などと表現される。なお英文においては通例、テンプレート:En または テンプレート:En と表現される。

定義

テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar を事象とし、テンプレート:Math とすると、テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar の条件付き確率は

$\mathrm{P}(A\mid B)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}$

あるいは

$\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A\mid B)\mathrm{P}(B)$

により定義されるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

測度論的定義

上記の定義では P(B) = 0 の場合 P(A|B) は未定義である。しかしながら、そのような事象に対して完全加法族の観点から条件付き確率を定義することは可能である。

例えば、X と Y は退化分布ではない連続同時分布 ƒテンプレート:Sub(x,y) に従う確率変数であるとする。B が正の測度を持つ場合、以下が成立する。

$\mathrm{P}(X\in A\mid Y\in B)=\frac{\underset{y\in B}{\int }\underset{x\in A}{\int }{f}_{X,Y}(x,y)dxdy}{\underset{y\in B}{\int }\underset{x\in ℝ}{\int }{f}_{X,Y}(x,y)dxdy}$

しかし B の測度が 0 の場合が問題である。B = {yテンプレート:Sub} の場合、単一点を表現しているが、条件付き確率は以下になる。

$\mathrm{P}(X\in A\mid Y=y_0)=\frac{\underset{x\in A}{\int }{f}_{X,Y}(x,y_0)dx}{\underset{x\in ℝ}{\int }{f}_{X,Y}(x,y_0)dx},$

この方法はテンプレート:仮リンクが生じる。測度が 0 の場合のより一般的なケースでは更に問題である。下記のように極限を表記し、全ての δyテンプレート:Sub が 0 に近づく場合、どのように 0 に近づくかに依存する。

$\mathrm{P}(X\in A\mid Y\in \bigcup _i[y_i,y_i+\delta y_i])\approxeq \frac{\sum _i\underset{x\in A}{\int }{f}_{X,Y}(x,y_i)dx\delta y_i}{\sum _i\underset{x\in ℝ}{\int }{f}_{X,Y}(x,y_i)dx\delta y_i}$

独立性

テンプレート:Main 2つのランダムな事象 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は

$\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)$

のとき、またそのときに限り独立である。あるいは独立な事象 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar については

$\mathrm{P}(A\mid B)=\mathrm{P}(A)$

かつ

$\mathrm{P}(B\mid A)=\mathrm{P}(B)$

である。言い換えれば、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が独立ならば、条件 テンプレート:Mvar の下での テンプレート:Mvar の条件付き確率は テンプレート:Mvar の周辺分布に等しく、また同様に条件 テンプレート:Mvar の下での テンプレート:Mvar の条件付き確率は テンプレート:Mvar の周辺確率に等しい。

排反性

2つの事象 テンプレート:Math の積事象 テンプレート:Math が空事象であることを、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は互いに排反 テンプレート:En であるという。排反事象の積は空事象となるため、その積事象の確率はゼロである。つまり、空事象 テンプレート:Math についていつでも

$\mathrm{P}(\varnothing )=0$

であるから、

$A\cap B=\varnothing ⟹\mathrm{P}(A\cap B)=0$

が成り立つ。したがって条件付き確率の定義より、事象 テンプレート:Math の（周辺）確率がゼロでない場合、テンプレート:Math が排反するならば条件付き確率 テンプレート:Math（および テンプレート:Math）はゼロとなる。

$A\cap B=\varnothing \wedge \mathrm{P}(B)\ne 0⟹\mathrm{P}(A\mid B)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}=0.$

上述の通り排反事象の積の確率および条件付き確率はゼロとなるが、その逆は成り立たない。このことは確率ゼロの空でない事象の存在によって示される。例えば テンプレート:Math の実数からランダムに1つを選ぶ場合、テンプレート:Math, テンプレート:Math とすると積事象の確率は テンプレート:Math となるが（テンプレート:Math から テンプレート:Math 未満の数が、あるいは テンプレート:Math 以上の数が選ばれることはある程度期待できたとしても、選ばれた数が テンプレート:Math であることはほとんど確実に期待できない）、積事象自体は テンプレート:Math であって空事象ではなく、したがって テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は排反ではない。

その他

• ある事象 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math ならば、すべての事象 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Math で定義される関数 テンプレート:Mvar は確率測度である。
• 条件付き確率は決定木やベン図によりわかりやすく表示できる。

関連する概念とそれらの関係

同時確率

テンプレート:See also 同時確率（テンプレート:Lang-en-short）または結合確率（テンプレート:Lang-en-short）は、複数の事象がどちらも起こる確率をいう（時間的に同時という意味ではない）。テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の同時確率を テンプレート:Math または テンプレート:Math と書く。同時分布は、多次元確率分布を指すテンプレート:Sfn。

周辺確率

テンプレート:See also 周辺確率（テンプレート:Lang-en-short）は、他の事象にかかわりなく1つの事象だけの確率をいう（普通の条件なしの確率と等しい）。周辺確率は同時確率を不要な事象に関して合計（または一般に積分）すれば得られる。テンプレート:Mvar の周辺確率は テンプレート:Math、テンプレート:Mvar の周辺確率は テンプレート:Math と表される。なお、周辺分布は、テンプレート:Mvar 次元確率変数の部分集合である テンプレート:Math 変数の同時分布であるテンプレート:Sfn。

ただし、以上の2つの事象 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の間には時間関係または因果関係はなくてもよく、どんな関係であってもよいことに注意されたい。例えばベイズ推定で用いられる事後確率とは、ある根拠を条件として、その原因となった（時間的にも以前の）事象を推測した確率をいう。

確率に条件を付けるということは、別の（あるいは新たな）情報を考慮して確率を改訂することであり、数学的にはベイズの定理で示される。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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• テンプレート:Citation

関連項目

• 確率
  • 確率論
    • 同時分布
• 統計学
• 推計統計学
• 確率分布
• ベイズの定理
• ベイズ統計学（ベイズ推定）
• 尤度比検定
• 最尤推定
• 最大エントロピー原理
• 陽性尤度比
• 陰性尤度比
• 尤度方程式
• ベイズ確率
• ベイズの定理
• ベイジアンネットワーク