上半平面

テンプレート:出典の明記 数学、とくにリーマン幾何学あるいは（局所）コンパクト群の調和解析において上半平面（じょうはんへいめん、テンプレート:Lang-en-short）は、虚部が正である複素数全体の成す集合をいう。上半平面は連結な開集合であり、それがリーマン球面に埋め込まれているとみなしたとき、その閉包を閉上半平面と呼ぶ。閉上半平面は上半平面に実軸と無限遠点を含めたものである。（開いた）上半平面を慣例的に H や H あるいは $ℌ$ と記す（このとき、下半平面は H⁻ や H₋ などと書かれ、対比的に上半平面を H⁺ などと記すこともある）。上半平面は、リー群の表現論やロバチェフスキーの双曲幾何学などの舞台として数論・表現論的、幾何学的に重要な役割を果たす。

$ℍ=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid y>0\}$

または

$ℌ={ℌ}^{+}={ℌ}_{+}=\{z\in ℂ\mid \mathrm{\Im }z>0\}=\{x+yi\mid x,y\in ℝ,y>0\},$

$\overline{ℌ}=ℌ\cup \partial ℌ={ℌ}^{+}\cup ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}.$

$\overline{ℌ}\cup {ℌ}_{-}={ℌ}_{+}\cup {ℌ}_{-}\cup ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}=\text{ Riemann sphere}.$

双曲モデル

ポワンカレの上半平面モデルと呼ばれる双曲幾何のユークリッド空間内での実現がある。このモデルでは、計量が

$\frac{d(z\overline{z})}{|\mathrm{\Im }z{|}^2}$

で与えられていて、実軸に近づくほどに空間が歪んでいる。双曲幾何のモデルとしての上半平面における「直線」（測地線）は、両端がそれぞれ実軸に直交する円周（直線も半径無限大であると見なして円に含める）である。上半平面を単位円板

$D=\{z\in ℂ\mid z\overline{z}<1\}$

に写す正則な全単射

$ℌ\ni z\mapsto \frac{z-i}{z+i}\in D$

$D\ni w\mapsto \frac{1+w}{1-w}i\in ℌ$

が存在して、上半平面モデルは単位円板モデルと呼ばれる計量

$\frac{d(z\overline{z})}{(1-|z|{)}^2}$

をもつ実現と互いにうつりあう。これは二つのモデルがリーマン面として解析的同型であることを意味している。これらの閉包もやはり解析同相となるので、閉上半平面はコンパクトリーマン面になる。

SL(2) の表現論

上半平面にリー群 GL(2, R) が

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)z:=\frac{az+b}{cz+d}\text{ for }z\in ℌ$

によって（計量を保って）作用する。H は同じ作用で SL(2) の作用を受ける。このとき、z = i の固定部分群は

$SO(2,ℝ)=\left\{\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\right\}$

となるので、解析同相

$ℌ\simeq SL(2,ℝ)/SO(2,ℝ)$

が成り立つ。さらに SL(2, Z) のような離散部分群（しばしば Γ で表される）の作用で H を割った空間（これも適当な仕方でリーマン面の構造を持つ）の上の微分形式は保型形式と呼ばれる数論的対象を定める。

関連項目

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