部分圏

数学において，圏 テンプレート:Mvar の部分圏（ぶぶんけん，テンプレート:Lang-en-short）とは，圏 テンプレート:Mvar であって対象が テンプレート:Mvar の対象で射が テンプレート:Mvar の射で同じ恒等射と射の合成をもつものである．直観的には，テンプレート:Mvar の部分圏は テンプレート:Mvar から対象と射をいくつか「取り除いて」得られる圏である．

定義

テンプレート:Mvar を圏とする．テンプレート:Mvar の部分圏 テンプレート:Mvar は以下によって与えられる：

• テンプレート:Mvar の対象の部分類 ob(S),
• テンプレート:Mvar の射の部分類 hom(S),

であって以下を満たす

• ob(S) の任意の テンプレート:Mvar に対し，恒等射 テンプレート:Math は hom(S) に属す，
• テンプレート:Math の任意の射 テンプレート:Math に対し，始域 テンプレート:Mvar と終域 テンプレート:Mvar はともに テンプレート:Mathに属す，
• テンプレート:Math の任意の射の対 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar に対し，合成 $f\circ g$ が定義されるときにはいつでも テンプレート:Math に属する．

これらの条件は テンプレート:Mvar 自身が圏であることを保証する．対象の集まりは テンプレート:Math であり，射の集まりは テンプレート:Math であり，恒等射と合成は テンプレート:Mvar におけるものと同じである．対象と射を自身に写す明らかな忠実関手 テンプレート:Math が存在し，包含関手 (inclusion functor) と呼ばれる．

テンプレート:Mvar を圏 テンプレート:Mvar の部分圏とする．テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の充満部分圏 (full subcategory) であるとは，テンプレート:Mvar の各対象の対 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar に対し，

${\mathrm{Hom}}_{𝒮}(X,Y)={\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,Y)$

となることをいう．充満部分圏は テンプレート:Mvar の対象の間のすべての射を含むものである．テンプレート:Mvar の対象の任意の集まり テンプレート:Mvar に対し，対象が テンプレート:Mvar であるような テンプレート:Mvar の充満部分圏が一意的に存在する．

例

• 有限集合の圏は集合の圏の充満部分圏をなす．
• 対象が集合で射が全単射な圏は集合の圏の充満でない部分圏をなす．
• アーベル群の圏は群の圏の充満部分圏をなす．
• 単位元をもつ環の圏（射は単位元を保つ環準同型）は環の圏の充満でない部分圏をなす．

埋め込み

テンプレート:Mvar の部分圏 テンプレート:Mvar が与えられると，包含関手 テンプレート:Math は忠実かつ対象上単射である．それが充満であることと テンプレート:Mvar が充満部分圏であることは同値である．

著者によっては埋め込み (embedding) を充満忠実関手と定義する．そのような関手は同型を除いて対象上単射でなければならない．例えば，米田埋め込みはこの意味での埋め込みである．

著者によっては埋め込みを対象上（真に）単射であるような充満忠実関手と定義する．

また著者によっては関手が埋め込みであることを忠実かつ対象上単射であるものとして定義する．あるいは同じことであるが，テンプレート:Mvar が埋め込みであることを射上単射であるものと定義する．このとき関手 テンプレート:Mvar が充満埋め込み (full embedding) であるとは，充満関手かつ埋め込みであることをいう．

任意の（充満）埋め込み テンプレート:Math に対し，テンプレート:Mvar の像は テンプレート:Mvar の（充満）部分圏 テンプレート:Mvar であり，テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の間の圏の同型を誘導する．テンプレート:Mvar が対象上真に単射ではなければ，テンプレート:Mvar の像は テンプレート:Mvar に同値である．

ある圏においては，圏の射についても埋め込みを定義できる．

部分圏の種類

テンプレート:Mvar の部分圏 テンプレート:Mvar が isomorphism-closed あるいは replete とは，テンプレート:Mvar の同型射 テンプレート:Math であって テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に属するようなものはすべて テンプレート:Mvar に属することをいう．isomorphism-closed 充満部分圏は strictly full といわれる．

テンプレート:Mvar の部分圏が wide あるいは lluf (P. Freyd によって最初に提案された用語) とは，テンプレート:Mvar のすべての対象を含むことをいう．lluf 部分圏は一般に充満でない：圏の充満 lluf 部分圏はその圏自身しかない．

セール部分圏 (Serre subcategory) は，アーベル圏 テンプレート:Mvar の空でない充満部分圏 テンプレート:Mvar であって，テンプレート:Mvar におけるすべての短完全列

$0\to M^{\prime }\to M\to M^{″}\to 0$

に対して，テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に属することと $M^{\prime }$ と $M^{″}$ がともにそうであることが同値であるものである．この概念はテンプレート:仮リンクから生じる．

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク，拡大で閉じている充満部分圏．