単調族

集合族の一種である単調族（たんちょうぞく、テンプレート:Lang-en-short）は、測度論においてより複雑な集合族を構成するために用いられる。

定義

集合テンプレート:Mvar の部分集合族 $ℳ \subset 𝒫 (X)$ が単調であるとは、 $ℳ$ のテンプレート:仮リンク（単調増加または単調減少な列）の極限がまた $ℳ$ に属するときに言う。記号で書けば、

(A_{n})_{n \in ℕ} s.t. A_{1} \subset A_{2} \subset \dots \in ℳ ⟹ ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in ℳ,

(B_{n})_{n \in ℕ} s.t. B_{1} \supset B_{2} \supset \dots \in ℳ ⟹ ⋂_{i = 1}^{\infty} B_{i} \in ℳ .

複数の単調族の交わりはまた単調族を成す。ゆえに任意の集合族テンプレート:Mvar の生成する単調族が

ℳ_{K} : = ⋂_{\binom{ℳ : Monotone}{K \subset ℳ}} ℳ

と定義できる。これはテンプレート:仮リンクと解釈できる。

単調族を成す集合環はσ-集合環である。
集合テンプレート:Mvar の部分集合からなる単調族が、全体集合テンプレート:Mvar を含み、かつその族に属する集合テンプレート:Math がテンプレート:Math を満たすとき必ずテンプレート:Math もその族に属するならば、その単調族はディンキン族である。
任意の σ-集合環は単調族である。
集合代数の生成する単調族の全体は代数の生成するσ-集合代数の全体と対応を持つ。
集合環の生成する単調族は、その集合環の生成する σ-集合環と一致する。

Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.