流れ関数

流れ関数（ながれかんすう）または流れの関数^[1]^[2]とは、2次元の非圧縮の流れ場に対し、勾配によって流束値を与える関係である。

文字 Ψ で表すことが多い。つぎのように定義される。

u = \frac{\partial Ψ}{\partial y}, v = - \frac{\partial Ψ}{\partial x}

ここでx , y は2次元直交座標、u , v はそれぞれx , y 方向の速度成分である。このときの速度場は連続の式を満たす。

性質

流れの中に任意に2点A, Bを選んだとき、各点の流れの関数の差は、2点を結ぶ曲線を横切る流量に等しい（この流量は2点A, Bのみに依存し、曲線の選び方によらない）。

Ψ (B) - Ψ (A) = \int_{A}^{B} v_{n} d s

ここで ds は曲線の線要素長、v_n は速度の要素直交成分である。

特に、1本の流線上の任意の2点について上式右辺は0であるため、Ψ = const. は流線を表す。

流れの領域の中に吸い込み、湧き出しが存在する場合、流れの関数は多価関数となる。

ストークスの流れ関数は軸対称流に対する類似した概念である。対称軸をx 軸とし、x 軸からの距離をy で、それぞれの流速をu , v で表すと、ストークスの流れ関数は以下の関係を満たす。

u = \frac{1}{y} \frac{\partial Ψ}{\partial y}, v = - \frac{1}{y} \frac{\partial Ψ}{\partial x}

圧縮性流れに対しても流れ関数は定義できる。密度をρとすると、流れ関数は以下の関係を満たす。

ρ u = \frac{\partial Ψ}{\partial y}, ρ v = - \frac{\partial Ψ}{\partial x}