変分法

テンプレート:About テンプレート:Expand English テンプレート:Calculus 解析学の一分野、変分法（へんぶんほう、テンプレート:Lang-en-short; 変分解析学）は、汎函数（函数の集合から実数への写像）の最大化や最小化を扱う。汎函数はしばしば函数とその導函数を含む定積分として表される。この分野の主な興味の対象は、与えられた汎函数を最大・最小とするような「極値」函数、あるいは汎函数の変化率を零とする「停留」函数である。

そのような問題のもっとも単純な例は、二点を結ぶ最短の曲線を求める問題である。何の制約も無ければ二点を結ぶ直線が明らかにその解を与えるが、例えば空間上の特定の曲面上にある曲線という制約が与えられていれば、解はそれほど明らかではないし、複数の解が存在し得る。この問題の解は測地線と総称される。関連する話題としてフェルマーの原理は「光は二点を結ぶ最短の光学的長さを持つ経路を通る。ただし光学的長さは間にある物質によって決まる」ことを述べる。これは力学における最小作用の原理に対応する。

重要な問題の多くが多変数函数を含む。ラプラス方程式の境界値問題の解はディリクレの原理を満足する。 テンプレート:仮リンクは空間内の与えられた周回路の張る面積が最小の曲面（極小曲面）を求める問題であり、しばしばその解を石鹸水に浸した枠が張る石鹸膜として見つけるデモンストレーションを目にする。こうした経験は比較的容易に実験できるけれども、その数学的解釈は簡単とはほど遠い（局所的に最小化する曲面は複数存在し得るし、非自明な位相を持ち得る）。

歴史

変分法は、ヨハン・ベルヌーイが1696年に取り挙げた最速降下曲線問題によって始まったといわれている。 この問題はすぐにヤコブ・ベルヌーイおよびロピタルの目に留まることになるが、1733年にレオンハルト・オイラーによって初めて詳細に述べられた。 ラグランジュはオイラーの著作に影響を受け、この理論へ大きく貢献した。 1755年に当時19歳だったラグランジュの研究を見た後、オイラーは自身の多少幾何学的であったアプローチを放棄し、ラグランジュによる純粋に解析的なアプローチを採用した。 そして、1756年の講義 "Elementa Calculi Variationum" において、このテーマを変分法と改名した。

ルジャンドルは1786年に最大値と最小値とを区別するための手法を確立したが、これは完全に十分なものとは言えなかった。 この主題に関しては、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツも早くから注目していた。 この判別法に対する貢献は、テンプレート:仮リンク (1810), ガウス (1829), ポアソン (1831), オストログラツキー (1834), ヤコビ (1837) など数多く存在する。 一般的である重要な成果として1842年におけるサラスの著作があり、これは1844年にコーシーによって要約・改良された。 その他にも重要な研究論文や回顧録が テンプレート:仮リンク (1849), テンプレート:仮リンク (1850), ルートヴィヒ・オットー・ヘッセ (1857), テンプレート:仮リンク (1858), Carll (1885) などに書かれているが、19世紀において最も重要な成果はおそらくワイエルシュトラスによるものである。 その高名な講座は画期的なものであり、彼によってこの理論は確固たる疑いようのない基礎の上に置かれたと言える。 1900年に発表されたヒルベルトの23の問題のテンプレート:仮リンクとテンプレート:仮リンクは、この分野の更なる発展を促した。

20世紀に入ると、ヒルベルト、ネーター、テンプレート:仮リンク、ルベーグ、アダマールらが多大な貢献をした。 テンプレート:仮リンクは、今日モース理論と呼ばれるものに変分法を応用した。 ポントリャーギン、テンプレート:仮リンクおよび F. H. Clarke は、最適制御理論において変分法に対する新しい数学的な道具を開発した。 リチャード・ベルマンの動的計画法は、変分法の代替となるもののひとつである。

極値

変分法は汎函数の極大と極小（総称して「極値」と呼ばれる）に注目する。函数が数値的な変数に依存して決まるのとある意味同じように、汎函数は函数に依存して決まり、またその意味で函数の函数としても記述される。 固定された定義域の上で定義された函数からなる函数空間が与えられたとき、その元を動く函数変数 テンプレート:Mvar に関して汎函数は極値を持つ。汎函数 テンプレート:Math が函数 テンプレート:Mvar において極値を持つとは、増分 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の任意に小さな近傍に属する任意の テンプレート:Mvar に対して同じ符号を持つときに言うテンプレート:Refn。このとき函数 テンプレート:Mvar は極値函数あるいは極値点 (extremal) と呼ばれる。極値 テンプレート:Math が極大であるとは テンプレート:Mvar の任意に小さな近傍の各点において テンプレート:Math を満たすときに言う。また極小であるとは同様に テンプレート:Math であるときに言う。連続函数の空間に対して、対応する汎函数の極値は、連続函数の一階導函数が全て連続となるかまたは否かに従って、それぞれ弱極値 (weak extrema) または強極値 (strong extrema) と呼ばれる。

汎函数の強極値・弱極値はともに連続函数の空間に対するものだが、弱極値はその空間に属する函数の一階導函数が連続という追加の要件を持つ。強極値は弱極値でもあるが、逆は真ではない。強極値を求めることは弱極値を求めることよりも困難である。弱極値を求めるために用いる必要条件の一つの例として、オイラー＝ラグランジュ方程式がある テンプレート:Refn。

変分および極小値に関するある十分条件

変分法は、汎函数の引数である函数のわずかな変化によって生じる小さな変動としての汎函数の変分に注目する。一次変分テンプレート:Refnは汎函数の増分の一次成分（線型部分）として定義され、二次変分テンプレート:Refnは汎函数の増分の二次成分として定義される。

例えば テンプレート:Math は函数 テンプレート:Math を引数とする汎函数とし、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar と同じ函数空間に属する函数として引数を テンプレート:Mvar から テンプレート:Math へわずかに変化させるとき、対応する汎函数の増分は テンプレート:Math で与えられるテンプレート:Refn。

汎函数 テンプレート:Math が微分可能であるとは、線型汎函数 テンプレート:Math が存在してテンプレート:Refn テンプレート:Math とできるときに言う。ただし、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar のノルムテンプレート:Refnであり、テンプレート:Mvarは テンプレート:Mvar のとき テンプレート:Math を満たすものとする。このとき、線型汎函数 テンプレート:Mvar を テンプレート:Math のテンプレート:仮リンクとよび テンプレート:Mvar と表す:

$\mathit{\delta }𝐽[h]:=\varphi [h].$

また汎函数 テンプレート:Math が二回微分可能とは、一次変分 テンプレート:Math および二次汎函数テンプレート:Refn テンプレート:Math が存在して テンプレート:Math とできるときに言う。ただし、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math のとき テンプレート:Math である。二次汎函数 テンプレート:Math を テンプレート:Math の二次変分と呼び、 テンプレート:Math と書く:

${\delta }^{2}J[h]:={\varphi }_2[h].$

二次変分 テンプレート:Math が強く正 (strongly positive) であるとは、適当な定数 テンプレート:Math が存在して、任意の テンプレート:Mvar に対し テンプレート:Math を満たすときに言う。

極小値の十分条件

汎函数 テンプレート:Math が テンプレート:Math において極小となるには、テンプレート:Math において一次変分が テンプレート:Math かつ二次変分 テンプレート:Math が強く正となることが十分である テンプレート:Refn

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• 変分原理
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• 摂動法
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• 最適制御
• 変分法における直接法
• ネーターの定理
• 有限要素法
• ド・ドンデ-ワイル理論
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関連文献

• Dacorogna, Bernard. Introduction to the Calculus of Variations (3rd Edition), 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-1-78326-551-0. Introduction
• Bolza, O.: Lectures on the Calculus of Variations. Chelsea Publishing Company, 1904, available on Digital Mathematics library [1]. 2nd edition republished in 1961, paperback in 2005, ISBN 978-1-4181-8201-4.
• Cassel, Kevin W.: Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.
• Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968.
• Courant, R.: Dirichlet's principle, conformal mapping and minimal surfaces. Interscience, 1950.
• Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962.
• Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960.
• Fox, Charles: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987.
• Jost, J. and X. Li-Jost: Calculus of Variations. Cambridge University Press, 1998.
• Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1–98.
• Logan, J. David: Applied Mathematics, 3rd Ed. Wiley-Interscience, 2006
• Roubicek, T.: Calculus of variations. Chap.17 in: Mathematical Tools for Physicists. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7, pp. 551–588.
• Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992.
• Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974 (reprint of 1952 ed.).
• Chapter 8: Calculus of Variations, from Optimization for Engineering Systems, by Ralph W. Pike, Louisiana State University.

外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:Planetmathref
• テンプレート:Mathworld
• Calculus of variations example problems.
• Selected papers on Geodesic Fields, Part I, trans. and edited by D. H. Delphenich
• Selected papers on Geodesic Fields, Part II
• 加藤晃史, 微分・積分の先にあるもの― 変分法入門 ―2016年2月5日, 高校生のための金曜特別講座