フォワード測度

フォワード測度（フォワードそくど、テンプレート:Lang-en-short）とは、数理ファイナンスにおいて、リスク中立測度と絶対連続である価格付けの測度である。しかし、テンプレート:仮リンクとしてマネーマーケットアカウントを使わず、満期が T である債券が用いられている（特に満期を明示して T–フォワード測度と言う事も多い）。フォワード測度の利用はテンプレート:仮リンクにより1987年に始められ、テンプレート:仮リンクの価格計算の方法として用いられている。

数学的定義

以下の記述はテンプレート:Harvnbに基づく。

まずニュメレールとしての銀行口座、もしくはマネーマーケットアカウントを以下のように定義する。

$B(T)=\exp (\underset{0}{\overset{T}{\int }}r(u)du)$

更に時点0から満期 T までの割引ファクターを以下のように定義する。

$D(T)=1/B(T)=\exp (-\underset{0}{\overset{T}{\int }}r(u)du)$

もし $Q_{*}$ がリスク中立測度ならば、フォワード測度 $Q_T$ はラドン–ニコディム微分として以下のように与えられる。

$\frac{d{Q}_T}{d{Q}_{*}}=\frac{1}{B(T)E_{Q_{*}}[1/B(T)]}=\frac{D(T)}{E_{Q_{*}}[D(T)]}.$

上の式は利子率が非確率的ならばフォワード測度とリスク中立測度は一致することを意味している。また、ニュメレールを銀行口座もしくはマネーマーケットアカウント B(t) から満期 T の債券 P(t,T) に変えた際のニュメレール変換公式の一つでもある。実際、時点 t における満期 T のゼロクーポン債価格が

$P(t,T)=E_{Q_{*}}[\frac{B(t)}{B(T)}|ℱ(t)]=E_{Q_{*}}[\frac{D(T)}{D(t)}|ℱ(t)]$

と書けるならば（ $ℱ(t)$ は時点 t における市場の情報を表すフィルトレーションである）、

$\frac{d{Q}_T}{d{Q}_{*}}=\frac{B(0)P(T,T)}{B(T)P(0,T)}$

と書ける。この式より、T–フォワード測度はテンプレート:仮リンクとしての満期 T のゼロクーポン債と関連していることが明確になる。 より詳細な議論についてはテンプレート:Harvnbを参照せよ。

結果

"フォワード測度"の名前は、フォワード測度の下でテンプレート:仮リンクがマルチンゲールとなることに由来している。この事実は、フォワード測度を正式に定義したとされる、テンプレート:Harvnb によって最初に見出された。リスク中立測度の下でマルチンゲールとなる先物価格と比べると、利子率が非確率的であるならば、フォワード測度は先渡価格と先物価格は一致する事を意味している。

例えば、割引株式価格はリスク中立測度の下でマルチンゲールである。

$S(t)D(t)=E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|ℱ(t)].$

先渡価格は $F_S(t,T)=\frac{S(t)}{P(t,T)}$ で与えられる。よって $F_S(T,T)=S(T)$ が得られる。ラドン–ニコディム微分 $\frac{d{Q}_T}{d{Q}_{*}}$ と等式 $F_S(T,T)=S(T)$ を用いれば

$F_S(t,T)=\frac{E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|ℱ(t)]}{D(t)P(t,T)}=E_{Q_T}[F_S(T,T)|ℱ(t)]\frac{E_{Q_{*}}[D(T)|ℱ(t)]}{D(t)P(t,T)}$

となる。最後の項は債券価格の定義より1と等しいので以下が得られる。

$F_S(t,T)=E_{Q_T}[F_S(T,T)|ℱ(t)].$

参考文献

• テンプレート:Citation
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関連項目

• リスク中立測度
• テンプレート:仮リンク