アーベルの総和公式

テンプレート:出典の明記 アーベルの総和公式（アーベルのそうわこうしき、テンプレート:Lang-en-short）は、級数の変形に関する公式の一つである。 部分和分の一種で、級数の大きさの評価に用いられる（この公式による級数の変形を単に部分和分ということもある）。

定理

数列 $(a_n{)}_{n=0,1,\cdots }$ と実数 $x\ge 0$ に対し、 その総和を $A(x)=\sum _{0\le n\le x}{a}_n$ と定める。 また関数 $f(t)$ が $0<t<x$ において微分可能とする。このとき

$\sum _{n=0}^x{a}_{n}f(n)=A(x)f(x)-\underset{0}{\overset{x}{\int }}A(t)f^{\prime }(t)dt$

が成り立つ。

より一般に、$f(t)$ が $x<t<y$ において微分可能なとき

$\sum _{n=x}^y{a}_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\underset{x}{\overset{y}{\int }}A(t)f^{\prime }(t)dt$

が成り立つ。

解説

この定理はアーベルの級数変形法の特殊な場合である。

また、リーマン＝スティルチェス積分の部分積分の公式でもあり、リーマン＝スティルチェス積分を使って

$\underset{x}{\overset{y}{\int }}fdA=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\underset{x}{\overset{y}{\int }}Adf$

とも表される。

証明については Apostol, 第3章および第4章 や Hardy-Wright, 第22章を参照。

例

調和級数 $\sum _{1\le n\le x}\frac{1}{n}$ について、$a_n=1(n=1,2,\cdots ),f(t)=\frac{1}{t}$ とおくと $A(x)=\lfloor x\rfloor$ より

$\sum _{n=1}^x\frac{1}{n}=\frac{\lfloor x\rfloor }{x}+\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\lfloor t\rfloor }{t^2}dt=\log x+1-\frac{\{x\}}{x}-\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\{t\}}{t^2}dt$

が成り立つ。このことから

$\sum _{n=1}^x\frac{1}{n}=\log x+\gamma +O\left(\frac{1}{x}\right)$

となる定数 テンプレート:Mvar が存在することが分かる。この定数 テンプレート:Mvar はオイラーの定数といわれる。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語