置換積分

テンプレート:出典の明記 テンプレート:Expand English 微分積分学において置換積分（ちかんせきぶん, テンプレート:Lang-en）は、変数変換を用いて積分を計算する積分法である。

一変数の置換

不定積分の置換積分

連続関数 テンプレート:Math と微分可能関数 テンプレート:Math について次の等式が成り立つテンプレート:Efn2。

$\int f(x)dx=\int f(g(t))g^{\prime }(t)dt.$

導出には以下のように連鎖律と微分積分学の基本定理を用いるテンプレート:Sfn。

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dt}\int f(x)dx& =\frac{d}{dx}\int f(x)dx\cdot \frac{dx}{dt}\\ & =f(x)g^{\prime }(t)=f(g(t))g^{\prime }(t)\\ & =\frac{d}{dt}\int f(g(t))g^{\prime }(t)dt.\end{array}$

この等式から変換公式の両辺の不定積分は テンプレート:Mvar で微分したときに等しいことから、定数項の違いを除いて等しいことが帰結される。

また、変換公式は形式的に テンプレート:Math と テンプレート:Math に分けて考えることができるテンプレート:Sfn。後者は厳密には微分形式の理論によって正当化され、後述する多変数の置換積分と併せて積分の変数変換を一般化する。 テンプレート:See also

定積分の置換積分

定積分で変数変換する際には、以下のように積分区間も変換されるテンプレート:Sfn。

$\underset{g(a)}{\overset{g(b)}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(g(t))g^{\prime }(t)dt.$

例

例1

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}x\cos (x^2+1)dx.$

テンプレート:Math で テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar に変数変換する。ここで、テンプレート:Math なので テンプレート:Math である。また、テンプレート:Math に対して テンプレート:Math であり、テンプレート:Math に対して テンプレート:Math であるので、

$\begin{array}{cc}\underset{x=0}{\overset{x=2}{\int }}x\cos (x^2+1)dx& =\frac{1}{2}\underset{u=1}{\overset{u=5}{\int }}\cos (u)du\\ & =\frac{1}{2}(\sin (5)-\sin (1))\end{array}$

と計算できる。

例2

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx.$

テンプレート:Math で テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar に変数変換する。このとき、テンプレート:Math である。また、テンプレート:Math および テンプレート:Math であることから積分区間を テンプレート:Math に変換すると、この区間において テンプレート:Math であることに注意して、

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx& =\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{1-{\sin }^2(u)}\cos (u)du\\ & =\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}|\cos (u)|\cos (u)du=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^2(u)du\\ & =({\frac{u}{2}+\frac{\sin (2u)}{4}\left)\right|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{4}+0=\frac{\pi }{4}\end{array}$

と計算できる。

多変数の置換

テンプレート:節スタブ テンプレート:See alsoテンプレート:Math,テンプレート:Mathと変数変換すると

$\iint f(x,y)dxdy=\iint f(\varphi (u,v),\psi (u,v))|J|dudv$

ここで、

$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\det \left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right)$

はヤコビアン(ヤコビ行列の行列式である。)

これは形式的に$dxdy=|J|dudv$と書ける。

脚注

文献

• テンプレート:Cite book

関連項目

• 微分積分学の基本定理